《数学物理基本方法》第十一章分离变量法.ppt

继续努力 坚持不懈 愉快学习;第十一章 分离变量法;本章基本要求; 分离变量法（本征函数展开法）:其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题． ; 驻波的一般表示：u(x,t)=X(x)T(t) 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性;泛定方程：;x, t 是相互独立的变量;(1) ;几种常用的常系数微分方程的解;附 录Ⅱ 几种常用的常系数常微分方程的解;2．方程 y+ l2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 + l2 ＝ 0 特征根为±il，将r ＝ ±il 代入尝试解得方程的二个特解，其线性组合即为通解 y ＝ c1eilx+c2e-ilx ．(2) 利用尤拉公式 e士ilx ＝ coslx士 isinlx 代入(2)式，可得 y ＝ D1coslx + D2sinlx ．(3) 令D1＝ Esind 及 D2＝ Ecosd ，其中E及d为待定常数，则(3)式可写为 y ＝ E sin (lx + d) ．(4);3．方程 y＋ py＋ qy ＝0 的特征方程为 r2 ＋ pr＋ q ＝0 设它的根为r1,r2，则 1)当r1≠ r2 (实根)时，通解为 y ＝ c1er1x+c2er2x ． (5) 2)当r1 ＝ r2 ＝ r(实根)时，通解为 y ＝ (c1+ c2x)erx ． (6) 3)当 r1 ＝a + ib , r2 ＝ a - ib 时，通解为 y ＝ eax (c1cosbx + c2sinbx) (7);(二)非齐次方程 y＋ py＋ qy ＝ f(x) (8) 设 与(8)式相应的齐次方程 y＋ py＋ qy ＝ 0 的线性无关的特解是y1(x), y2(x)。 1．非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解 y ＝ c1 y1(x), + c2y2(x) ． 与非齐次方程的特解之和． ;2．常数变易法．将c1 变为u(x), c2变为v(x), 即设(8)式的解具有下述形式 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) ． (9) 将它代入(8) 式，得到确定u(x)为v(x) 的一个条件 (uy1+vy2)+p(uy1+vy2)+q(uy1+vy2)＝f(x) (10) 确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定u(x) , v(x)的条件．;为此，对 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9)式两边求导，得 y＝ (u y1+ vy2) + (uy1+vy2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为零，即 uy1+ vy2 ＝0． (12) 将(12)式代入10 式，并利用 y1(x)及y2(x)是齐次方程的解，即有 uy1+ vy2＝ f(x) ． (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出 ;uy1+ vy2 ＝0． (12 ) uy1+ vy2＝ f(x) ． (13) ;uy1+ vy2 ＝0 → uy1+ uy1+ v y2 + vy2＝ 0 → uy1+ vy2 ＝ - (uy1+ v y2) (uy1+vy2)+p(uy1+vy2)+q(uy1+vy2)＝f(x) (10) (uy1+vy2) ＝ (uy1+2uy1+ uy1) + (vy2+2vy2+ vy2) p(uy1+vy2)＝ p(uy1+ uy1)+ p(vy2+ vy2) q(uy1+vy2);→ (uy1 +2uy1+ uy1)+ p(uy1 +uy1) + quy1 + (vy2 +2vy2+ vy2)+ p(vy2+ vy2) + qvy2 ＝ (uy1 + puy1 + quy1) + (vy2+ pvy2+ qvy2) + uy1+2uy1+ puy1 +vy2 + 2vy2+ pvy