高考专题-数学归纳法-沪教版教案.docVIP

数学归纳法 一.知识梳理 数学归纳法的基本形式 设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)， 则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 二、典型例题讲解 【例1】证明： (1)1 (2) 分析:如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难,但是如果用数学归纳法就比较容易.以下是详细证明过程. 证明:(1)ⅰ:当n=1时,左=1,故n=1时不等式成立. ⅱ:假设当n=k时不等式成立，即1 那么当n=k+1时, 左= = =1 故n=k+1时不等式成立 根据（1）（2）可知：结论对于一切正整数n成立. (2)第一步:当n=1时,左=2, 右=, 故左右, 即n=1时不等式成立. 第二步:假设n=k时不等式成立,即 那么n=k+1时, 左= = = =0 左 n=k+1时不等式成立． 　　第三步：根据（1）（2）可知：对于一切正整数n不等式成立。 【例2】 证n(N(时有( 证明：显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n(N(，有 (1－（）…………（1） 用数学归纳法证明（1）式： ① n＝1时，（1）式显然成立， ⑵设n＝k时，（1）式成立， 即(1－（） 则当n＝k＋1时， (〔1－（）〕(（） ＝1－（）－＋（） (1－（＋）即当n＝k＋1时，（1）式也成立。 故对一切n(N(，（1）式都成立。 利用（1）得，(1－（）＝1－ ＝1－( 故原式成立，从而结论成立。 【例3】设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式． 解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝． 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得＝． (Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　① 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝． 由①可得S3＝． 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．　　　　 下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝1时已知结论成立． (ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝， 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．　　 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…． 【例4】(09山东) 等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上。 （Ⅰ）求r的值。 （Ⅱ）当b=2时，记 求证：对任意的不等式成立 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为, （2）当b=2时，, 则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边= 所以当时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【例5】(09陕西）已知数列满足， . 猜想数列的单调性，并证明你的结论； (Ⅱ)证明：。证（1）由 由猜想：数列是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即 易知，那么 = 即 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，，结论成立 当时，易知 三、同步练习 一、选择题 1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A.30 B.26 C.36