向量直角坐标运算教案设计.doc

向量的直角坐标运算 教学目的 1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算． 2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行． 重点 平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行． 难点 理解平面向量的坐标表示． 过程 教学内容 师生互动 引入 1．平面内建立了直角坐标系，点A表示? 新 课 新 课 新 课 新 课 新 课 新 课 1．向量的直角坐标 在直角坐标系内，我们分别： (1) 取基向量: 取与 x 轴和y 轴的正方向相同的两个单位向量e1，e2作为基向量． (2) 得到实数对：任作一个向量a， 由平面向量基本定理，有且只有一对实数a1，a2，使得a＝a1e1＋a2e2，我们把(a1，a2)叫做向量a 的坐标，记作 a＝(a1，a2)， ① 其中a1 叫做a 在x轴上的坐标，a2 叫做a 在y轴上的坐标．e1，e2叫做直角坐标平面上的基向量． ①式叫做向量的坐标表示． 探究： （1）如图，e1，e2是直角坐标平面上的基向量，你能写出0，e1，e2的坐标吗？ e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，0＝(0，0)． （2）向量的坐标与点的坐标之间有何关系？ 设点A的坐标为(x，y)，则 ＝xe1＋ye2＝(x，y)． 即点A的位置向量的坐标(x，y)，也就是点A的坐标；反之，点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标． 例1 如图，用基向量e1，e2分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标． 解 由图可知 a＝3e1＋2e2＝(3，2 )， b＝－2e1＋3e2＝(－2，3)， c＝－2e1－3e2＝(－2，－3)， d＝2e1－3e2＝(2，－3)． 2．向量的直角坐标运算 (1) 如果 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2) ＝(a1＋b1，a2＋b2)； a－b＝(a1，a2)－(b1，b2) ＝(a1－b1，a2－b2)； λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)， 其中 λ 是实数． 证明 a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2) ＝(a1e1＋a2e2)＋(b1e1＋b2e2) ＝a1e1＋b1e1＋a2e2＋b2e2 ＝(a1＋b1) e1＋(a2＋b2) e2 ＝(a1＋b1，a2＋b2)． 请同学仿照上面的证明，自己证明其他两个结论． 上述向量的坐标运算公式，也可用语言分别表述为： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积． 例2 已知 a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b． 解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4) ＝(－1，5)； a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)； 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4) ＝(6，3)＋(－12，16) ＝(－6，19)． 例3 如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和. 解： 在平行四边形ABCD中， ， 注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量 例4 已知A (－2，1)，点 B (1，3)，求线段AB中点M的坐标． 解 因为 ＝－ ＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)； 所以 ＝＋ ＝＋ ＝(－2，1)＋(3，2) ＝(－，2)． 因此M(－，2)． 3．用向量的坐标表示向量平行的条件 复习： （1）平行向量基本定理：如果向量b≠0，则a//b 的充分必要条件是，存在唯一实数λ，使 a＝λb； （2）数乘向量：已知b＝(b1，b2)，则λb＝(λb1，λb2) ． 问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量的平行呢？ 探究：设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果b ≠ 0，则条件 a＝λb 可用坐标表示为 (a1，a2)＝λ(b1，b2)， 即 消去 λ，得 a1b2－a2b1＝0． 一般地，对于任意向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，都有 a//b ( a1b2－a2b1＝0． 例5 判断下列两个向量是否平行： (1) a＝(－1，3)，b＝(5，－15)； (2) e＝(2，0)，f＝(0，3)． 解 (1) 因为(－1)×(－15)－3×5＝0，所以向量 a 和向量 b 平行； (2) 因为2×3－0×0＝6≠0，所以向量 e 和 f 不平行． 例6 已知点A(－2，－1)，B(0，4)，向量a＝(1，y)，并且∥a，求a的纵坐标y． 解 由已知条件得 ＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)， 因为∥a，所以 1×5－2×y＝0． 解得y＝． 练习二 1．已知a＝(－3，－4)，b＝(2，