2014高中数学第三章第三节复数几何意义学案.docVIP

第三章 第三节 复数几何意义学案 明标自学 学习目标 （1）．理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数； （2）了解复数代数式加法、减法运算的几何意义； 2.自学指导 问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。） 问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示 实数 一一对应 实数轴上的点 （几何模型） 问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？ 1、复平面的概念 把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。 2、复数的几何意义 复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量（复数的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。） 三者的关系如下： [巩固练习] （1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数： 4，2+i，-1+3i，3-2i，-i （2）、“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 （3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？ 变式：第二象限的点表示的复数有何特征？ 问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。 （学生讨论，回答，纠正错误，形成共识） 3、复数的模（或绝对值） 向量的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作或。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于（即实数a的绝对值）。 == [巩固练习] （1）、已知复数=3+4i，=-1+5i，试比较它们模的大小。 （2）、若复数Z=3a-4ai(a0)，则其模长为 。 （3）满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？ （4）设Z∈C，满足23的点Z的集合是什么图形？ 问题5：既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示，那么，复数的加法、减法有什么几何意义呢？它能像向量加法、减法一样，用作图的方法得到吗？ 4、复数加法、减法的几何意义 设向量，分别与复数a+bi，c+di对应，且，不共线，以，为两条邻边画平行四边形OZ，则对角线OZ所表示的向量就是复数（a+c）+(b+d)i对应的向量。（平行四边形法则） 根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义。（三角形法则，过O作与其相等的向量） 设=a+bi，=c+di，则-=（a-c）+（b-d）i 故 表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。 二、数学应用 例1：已知复数z=在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切实数m，此复数z所对应的点不可能位于第四象限 例2 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？ 　　（1）|z-1-i|=|z+2+i| （2）|z+i|+|z-i|=4 （3）|z+2|-|z-2|=1 延伸：若将（2）中的等于改为小于呢？ 三、当堂检测 1、实数x分别取什么值时，复数对应的点Z （1）在第四象限？（2）直线上． 2、判断 （1）实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 （2） 若|z1|=|z2|，则z1=z2 （3） 若|z1|= z1，则z10 3．已知，复数=3+4i，复数满足，求的最值 四、课时小结 1 数 形 a Z=a+bi o x y b Z(a,b) 复数 复平面 内的点 Z（a,b） 平面向量 y O