电磁波及电磁场.ppt

* 微分体积 * 1.3 “三度”、“三定理” 标量的梯度 矢量的通量、散度、高斯定理 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理 亥姆霍兹定理 Gradient——grad Divergence——div Curl——curl * 1.3.1 标量的“梯度” 等值面： 等温线 等高线 ？“爬山” 同样的增量情况下 沿什么方向最“陡”？ ——数学模型：标量函数u，沿某个方向的变化率情况 梯度是表示 标量最大空间增长率的 大小和方向的矢量。 * 梯度是表示标量最大空间增长率的大小和方向的矢量。 Gradient——grad 标量沿其他方向的变化率 ——哈密顿算符 Hamiltonian * 不同坐标系下的表示 柱面坐标系中： 笛卡儿坐标系中： 球坐标系中： * 如何记忆？ 笛卡儿坐标系中微分长度 柱面坐标系中微分长度 * 球坐标系中微分长度 * 例 题 已知： 求： 令： 法一：直接法——求坐标系梯度公式！ * 法二：分析法——找规律！ 利用笛卡儿坐标系！ * 答案1 答案2 都 对 !! * 1.3.2 矢量的“通量”和“散度” 矢量 沿某一有向曲面 的面积分为 通过 的通量. 矢量沿某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。 通量(Flux) * 散 度 散度定义：单位体积的净流散通量 Divergence——div 散度表示 有向场中任一点处 通过包围该点的单位体积之表面的 通量。 * 柱面坐标系中： 笛卡儿坐标系中： 球坐标系中： 不同坐标系下的散度表示 * 需要记住在笛卡儿坐标系中： * 散度定理 散度定理：矢量场散度的体积分 ＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量 也叫“高斯定理” ——Gauss’s Law * 1.3.3 矢量的环流和旋度 矢量的环流：该矢量沿有向闭合路径的线积分 矢量 沿闭合路径 的环量＝ * 矢量的 “旋度” 旋度的定义 Curl——curl ——面环流密度 ——方向：与闭合路径遵循右手螺旋法则 ——大小：无限小面元，单位面积上 的净环量 （环流量的面密度） * 笛卡儿坐标系中 * 斯托克斯定理 斯托克斯定理：矢量场旋度的面积分 ＝该矢量沿包围该表面的封闭曲线的积分 ——Stokes’s Law * 梯度运算的基本公式 * 散度运算的基本公式 * 旋度运算的基本公式 * 关于“三度三定理”中的第三个定理 先看两个恒等式 (1) 标量场梯度的旋度为零 保守性 (2) 矢量场旋度的散度为零 p13 p11 * 亥姆霍兹定理(公理) 在空间有限区域内的任一矢量场，由它的旋度、散度和边界条件唯一地确定。 其中，边界条件指在该有限区域的闭合曲面上矢量场的分布。 亥姆霍兹定理是研究电磁场理论的一条主线，意义非常重要。 ——Helmholtz Theorem * Gauss’s Law Stokes’s Law Helmholtz Theorem 微分、积分方程 小结： 三个定理 矢场的基本微分方程 矢场的基本积分方程 ——散度方程和旋度方程 ——闭合面通量和闭合线环流 电磁场与电磁波 电磁场与电磁波 * 第 1 章 矢量分析 主要内容： 标量和矢量 坐标系 标量的梯度 矢量的通量、散度、高斯定理 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理 亥姆霍兹定理 3m 4m A B 路程？ 位移？ * 1.1 标量场与矢量场 标量: 只有大小而没有方向的量. Scalar 矢量: 不但有大小而且有方向特征的量. Vector 矢量描述 有向线段、单位矢量、分量表示 标量、矢量举例 标量：电压、温度…. 矢量：作用力、场强…. 场: 在指定的时刻，空间每一点如果可以用一个量唯一地描述，则该量函数定出了场. Field +Q +Q2 +Q1 场 * 标量场和矢量场 一、标量场 1.定义：空间某一区域内存在一标量函数u，它的值随空间的位置而定，同时可能是时间的函数： u=u（x.y.z;t）。 例如：温度场，势场 2.等值面：标量场中量值相等的点构成的面，称为等值面。例如：等温面，等势面。 * 标量场和矢量场 一、标量场 1.定义：空间某一区域内存在一标量函数u，它的值随空间的位置而定，同时可能是时间的函数： u=u（x.y.z;t）。 例如：温度场，势场 2.等值面：标量场中量值相等的点构成的面，称为等值面。例如：等温面，等势面。 3.方向性导数 ?? 对于一个标量场除了