2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案 文.docVIP

3．4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 [知识梳理] 1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象． 2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤如下： [诊断自测] 1．概念思辨 (1)将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．教材衍化 (1)(必修A4P57T1)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　) A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 答案　D 解析　y＝sin可变形为y＝sin，所以将y＝sin2x的图象向右平行移动个单位长度即可．故选D. (2)(必修A4P70T18)函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是(　　) A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 答案　A 解析　由f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，得最小正周期为π，振幅为1.故选A. 3．小题热身 (1)(2017·柳州模拟)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图象如图，则ω＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　B 解析　由图象可知，＝x0＋－x0＝，即T＝＝，故ω＝4.故选B. (2)(2018·成都检测)①为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向________平移________个单位长度． ②为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向________平移________个单位长度． 答案　①左　1　②左　 题型1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 　　(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值． 用五点法． 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表： 且函数表达式为f(x)＝5sin. (2)由(1)知f(x)＝5sin， 得g(x)＝5sin. 因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z. 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z. 由θ0可知，当k＝1时，θ取得最小值. [条件探究]　将本典例中的条件变为 (1)求x1，x2，x3的值及函数f(x)的表达式； (2)将函数f(x)的图象向右平移θ(θ0)个单位，可得到函数g(x)的图象．若y＝g(x)的图象的一条对称轴方程为x＝，求θ的最小值． 解　(1)由＋φ＝0，＋φ＝π可得ω＝，φ＝－. 由x1－＝，x2－＝，x3－＝2π， 可得x1＝，x2＝，x3＝. 由Asin＝2，得A＝2，所以f(x)＝2sin. (2)∵f(x)＝2sin的一条对称轴为x＝－，∴θ＝＋＝. 方法技巧 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)图象的作法 1．五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图．如典例． 2．图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．如条件探究． 冲关针对训练 (2018·济南模拟)设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经