2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 文.docVIP

2.3　函数的奇偶性与周期性 [知识梳理] 1．函数的奇偶性 (1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． (2)奇偶函数的性质 奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反． 2．函数奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 4．函数的周期性 定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期．对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 5．函数周期的常见结论 设函数y＝f(x)，x∈R，a0. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a； (4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a； (5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a. 6．掌握一些重要类型的奇偶函数 (1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数； (2)函数f(x)＝＝(a0且a≠1)为奇函数； (3)函数f(x)＝loga为奇函数； (4)函数f(x)＝loga(x＋)为奇函数． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．教材衍化 (1)(必修A1P39A组T6)已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　f(－1)＝－f(1)＝－＝－2.故选A. (2)(必修A1P39B组T3)设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)0的解集为(　　) A．(－1,0)(2，＋∞) B．(－∞，－2)(0,2) C．(－∞，－2)(2，＋∞) D．(－2,0)(0,2) 答案　C 解析　f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内单调递减， f(x)在(0，＋∞)内也单调递减， 又f(－2)＝0， f(2)＝0， 函数f(x)的大致图象如右图， xf(x)0的解集为(－∞，－2)(2，＋∞)．故选C. 3．小题热身 (1)(2015·全国卷)若函数f(x)＝xln (x＋)为偶函数，则a＝________. 答案　1 解析　由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln (－x)＝xln (x＋)