[理学]数学物理方程--- 5 格林函数法.ppt

西安交通大学理学院 第五章 格林函数法 数学物理方程 第5章 Green 函数法 利用格林函数法求解一些平面或空间区域上位势方程狄利克雷问题。 介绍利用格林函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题 本章中心内容 格林（Green）函数，又称为点源影响函数， 是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场． 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一． 5.1 Green公式 在研究Laplace方程和Poisson方程边界问题的时候，要经常利用格林公式，它是高等数学中Gauss公式的直接推广。 设 为 中的区域， 充分光滑。 设k为非负整数， 以下用 表示在 上具有k阶连续偏导的实函数全体， 表示在 上具有k阶连续偏导的实函数全体。如 表示 在 具有一阶连续偏导数 上连续。如将 简记为 ， 简记为 或 ，等等。 设 和 ，则如下的 高斯公式 或者 如果引入哈密尔顿（Hamilton)算子： 并记F=(P,Q,R),则Gauss公式具有如下简洁性式 其中 为 的单位外法向量。 注1 哈密尔顿算子是一个向量性算子，它作用于向量函数 F=(P,Q,R)时，其运算定义为 形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F的散度 divF。而作用于数量函数f(x,y,z)时，其运算定义为 形式上相当于向量的数乘运算，此即向量函数 的梯度grad 、 设 在(3)式中取 得 直接计算可得 将(5)式带入到(4)式中，并整理得 其中 (6)式称为格林第一公式 将（6）中函数u、v的位置互换，得 （6）-（7），得 （8）称为格林第二公式。 设 ，点 ， 。引入函数 ，注意 是关于六个变元 和 的函数，且 又 两边对x求偏导，得 即 所以 对（*）再对x求偏导，得 整理，得 由对称性，得 所以 即 在 中除点 外处处满足拉普拉斯方程。 设 充分小使得 记 ，则 ，在格林第二公式 中，令 ，注意到 ，则有 或 在球面 上，有 或 因此 其中 ------积分中值定理 同理可得 其中 ------积分中值定理 将（10）和（11）带入到（9）， 得到 令 此时有 并且区域G趋向于区域 ，所以可得 即 （12）称为格林第三公式。 注2 在二维情况中，格林第一公式和格林第二公式也成立。 而对于格林第三公式，需要取 格林第三公式，需要取 此时，格林第三公式也成立。 5.2 Laplace 方程基本解和Green函数 基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。 5.2.1 基本解 设 ，若做点 放置一单位正电荷， 则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 ） 电场中某点的电位是指在电场中将单位正电荷从该点移至电 位参考点时电场力所做的功。 上节已证 在广义函数意义下， 其中 三维拉普拉斯方程 的通解为： 如果取 就得到一个重要的特解 ，前面 记作 ，与 点选择有关。 称为三维拉普拉斯方程的基本解。 当n=2时，二维拉普拉斯方程的基本解为 其中 。有 在广义函数意义下， 5.2.2 格林函数 考虑如下定解问题 设 为上述问题的解，则 由格林第三公式，得 由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得 和 而在 中， 在边界 上的值未知，因此须进一步处理。 注 如果边界条件改为诺依曼条件，即定解问题变为 由格林第三公式，得 须做进一步处理。 如何由格林第三公式得到定解问题（5）（6）的解？主要是如 何消去 。----构造格林函数。 设h为如下定解问题的解 在格林第二公式 中，取v=h，得 或 则（7）+（10）得 其中 由 及 可知， 是如下定解问题的解 称为拉普拉斯方程在区域 上的格林函数。 由于G在 上恒为0，又 可得 因此，若求出了区域 上的格林函数 ，则 便是定解问题 的解。 5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题 由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域 上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。 5.3.1 半空间上的狄利克雷问题 设 考虑定解问题 设 ，则 为 关于 的对称点。 若在 两点各放置一个单位正电荷，则由三维拉普拉斯方程的 基本解得知，它们做空间产生 点位分