线性代数第18讲教学教案.pptVIP

线性代数第18讲;第五章　二次型;§5.1 二次型与对称矩阵;在解析几何中二次曲线的一般方程是 ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0它的二次项 j(x,y)=ax2+2bxy+cy2是一个二元二次齐次多项式在讨论某些问题时, 常遇到n元二次多项式.;定义5.1 只含有二次项的n元多项式;因为aij=aji(i,j=1,2,?,n), 于是上式可写成;我们常用 f(x)=xTAx (AT=A) (5.2)表示二次型(5.1), 称它为二次型(5.1)的矩阵形式. 矩阵A称为二次型f(x)的矩阵.显然, 一个二次型与一个对称矩阵一一对应.;例如, 二次型;反之, 对称矩阵;(二) 线性替换在解析几何中, 为了确定二次方程 ax2+2bxy+cy2=d所表示的曲线的性态, 通常利用转轴公式:;在转轴公式中, q选定后, cosq, sinq是常数. x,y由x,y的线性表达式给出, 这一线性表达式称为线性替换.;定义5.2 关系式;其中, 矩阵;如上例中, 因为;设;把(5.3)代入(5.2)得 xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy其中B=CTAC, BT=(CTAC)T=CTAC=B, 因此yTBy是以B为矩阵的y的n元二次型.如果(5.3)是非退化线性替换, yTBy有下面的形状;例1. 将二次型;解: 用配方法;解: 用配方法;原二次型成标准型;原二次型的矩阵为 线性替换的矩阵为;可见, 要把二次型化为标准形, 关键在于求出一个非奇异矩阵C, 使得CTAC是对角矩阵.上例是通过配方法间接找到非奇异矩阵C的. 一般说来, 这种方法较麻烦, 后边将介绍用初等变换和正交变换的方法求矩阵C.;定义5.3 设A,B为两个n阶矩阵, 如果存在n阶非奇异矩阵C, 使得 CTAC=B则称矩阵A合同于矩阵B, 或A与B合同, 记为 A?B;可见, 二次型(5.1)的矩阵A与经过非退化线性替换x=Cy得出的二次型的矩阵CTAC是合同的. 如上例就有;合同关系具有以下性质:(1) 对于任意一个方阵A, 都有A?A.因为InTAIn=A, In为n阶单位矩阵.(2) 如果A?B, 则B?A.因为CTAC=B, 则(C-1)TBC-1=A.(3) 如果A?B且B?C, 则A?C.因为;§5.2 二次型与对称矩阵的标准形;定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.证: 对二次型(5.1)按以下步骤进行:当aii(i=1,2,?,n)不全为零时执行1?, 否则执行2?.1? aii不全为零, 设a11?0, 则(5.1)改写成;令;(5.5)是一个非退化的线性替换, 代入(5.4)得;对于n-1元二次型;2? aii=0 (i=1,2,?,n), 但至少有一个aij?0, 设a12?0, (5.1)成为;(5.7)是非退化线性替换, 代入(5.6)得;反复执行1?,2?, 在有限步内可化二次型(5.1)为标准型.因为x=Cy, |C|?0, y=Dz, |D|?0, 则x=(CD)z, |CD|=|C|?|D|?0也是非退化线性替换, 因此, 任何一个二次型按以上步骤化为标准型时, 每一步所经的线性替换都是非退化的, 所以总可以找到一个非退化线性替换化二次型(5.1)为标准形. ;定理5.2 对任意一个对称矩阵A, 存在一个非奇异矩阵C, 使CTAC为对角形(称这个对角矩阵为A的标准形). 即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.;例. 求一非奇异矩阵C, 使CTAC为对角矩阵.;令;令;因此有;故;作业 习题五(A) 第228页开始第1题, 第2题