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线性代数第17讲教学文稿.ppt
线性代数第17讲;(四) 实对称矩阵的特征值和特征向量在上一节, 我们已经知道任意的n阶矩阵不一定能与对角阵相似, 然而, 实对称矩阵却一定能与对角矩阵相似, 其特征值, 特征向量具有许多特殊的性质.;定理4.10 实对称矩阵的特征值都是实数.(此定理证明略);定理4.11 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的.;;定理4.12 设A为实对称矩阵, 则存在正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵.;例1. 设实对称矩阵;解: 矩阵A的特征方程为;当l1=-1时, 解齐次线性方程组(-I-A)x=o, 得其基础解系为x1=(2,2,1)T.当l2=2时, 解齐次线性方程组(2I-A)x=o, 得其基础解系为x2=(2,-1,-2)T.当l3=5时, 解齐次线性方程组(5I-A)x=o, 得基础解系为x3=(1,-2,2)T.不难验证x1,x2,x3是正交向量组.;把x1,x2,x3单位化, 得;令;例2, 设实对称矩阵;解: A的特征方程为;;;当l3=10时, 解齐次线性方程组(10I-A)x=o, 得其基础解系x3=(1,2,-2)T单位化得;令;§4.4 矩阵级数的收敛性;(一)向量序列与矩阵序列的极限概念1. 向量序列的极限设 给定一向量序列 x(k):x(1),x(2),?,x(k),?其中;如果每一个分量序列都有极限, 即;例1. 设向量序列;因为;例2. 设;2. 矩阵的极限设 给定一矩阵序列A(k): A(1),A(2),?,A(k),?其中;如果每一个元素序列都有极限, 即;例3.;3. 向量无穷级数的收敛性设x(1),x(2),?,x(k),?为Rn中的一个向量序列, 则其和式 x(1)+x(2)+?+x(k)+? (4.4)称为Rn中向量无穷级数; 如果其部分和序列y(k) y(k)=x(1)+x(2)+?+x(k)当k??时极限存在, 则称向量无穷级数(4.4)收敛, 否则称向量无穷级数(4.4)发散;;如果y(k)?y (k??), 则称y是向量无穷级数(4.4)的和. 记作;例4. 向量无穷级数;例5. 向量无穷级数;4. 矩阵无穷级数的收敛性设A(1),A(2),?,A(k),?是一个m?n矩阵序列, 则其和式 A(1)+A(2)+?+A(k)+? (4.5)称为矩阵无穷级数, 如果其部分和序列B(k) B(k)=A(1)+A(2)+?+A(k) 的极限存在, 则称矩阵无穷级数(4.5)收敛, 否则, 称它发散.;如果B(k)?B(k??), 则称B是矩阵无穷级数(4.5)的和. 记作;(二) 关于级限的几个定理定理4.13 n阶矩阵A的m次幂Am?O (m??)的充分必要条件是A的一切特征值li的模小于1, 即|li|1 (i=1,2,?,n).证:(1) 如果A与对角矩阵相似, 即有n阶可逆矩阵P, 使A=PLP-1. 其中;l1,l2,?,ln是A的特征值, 由Am=PLmP-1及;(2) 如果A与对角矩阵不相似, 则由A与约当矩阵相似, 也可以证明定理成立(证明略).;由定理4.2及定理4.8可得下面的定理.定理4.14 设A=(aij)为n阶矩阵, 如果;定理4.15 方阵级数 I+A+A2+?+Ak+? (4.6)收敛的充分必要条件是Ak?O (k??), 且有;由定理4.13, 对A的一切特征值li, 有| li |1 (i=1,2,?,m), 所以特征方程|lI-A|=0, 没有l=1的根, 因而|I-A|?0, 因此(I-A)-1存在.在等式 (I+A+A2+?+Ak)(I-A)=I-Ak+1的两端右乘以(I-A)-1, 得 I+A+A2+?+Ak=(I-A)-1-Ak+1(I-A)-1因Ak+1?O (k??), 所以Ak+1(I-A)-1?O (k??). 则 I+A+A2+?+Ak?(I-A)-1 (k??)即;(三) 应用举例—投入产出平衡方程的讨论在投入产出模型中, 当各部门的最终产品yi(i=1,2,?,n)为已知时, 需求解产品分配平衡方程 (I-A)x=y其中A为报告期的直接消耗系数矩阵. 对于已知的y, 上面的方程是否有非负解x, 矩阵I-A是否可逆等问题尚未解决. 现在, 我们利用本节的定理可以给出肯定的结果.;实际上, 根据直接消耗系数矩阵的性质, 有;因此方程(I-A)x=y有解 x=(I-A)-1y=(I+A+A2+?+Am+?)y由于直接消耗系数矩阵A是非负矩阵, y为已知非负, 所以x非负.这一结论为投入产出数学模型的实际应用奠定了理论基础.;作业 习题四(A) 第200页开始第19,20,21,23题
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