线性代数第10讲教学文稿.pptVIP

线性代数第10讲;第三章 线性方程组;考虑一般的线性方程组; Ax=b其中; Ax=b;例1. 解线性方程组;①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;显然, 方程组①至⑧都是同解方程组, 因而⑧是方程组①的解.这个解法就称为消元法, ①至④是消元过程, ⑤至⑧是回代过程.上面的求解过程,可以用方程组①的增广矩阵的初等行变换表示:;;;由最后一个矩阵得到方程组的解x1=1,x2=3,x3=2.;由前面的例子可以看出, 用消元法解线性方程组的过程, 实质上就是对该方程组的增广矩阵施以仅限于行的初等变换(称为初等行变换)的过程. 解线性方程组时, 为了书写简明, 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可.对方程组的增广矩阵施以行初等变换, 相当于把原方程组变换成一个新方程组. 下面对一般的线性方程组(3.1)论证新方程组是原方程组的同解方程组.;对增广矩阵的行施以(1),(2)两种初等变换, 分别相当于交换两个方程的次序及用非零数k乘某一方程的两边, 显然不会改变方程的解.对增广矩阵的行施以第(3)种初等变换, 如将(A b)的第i行的k倍加于第j行, 这相当于将原方程组的第i个方程乘以k加于第j个方程, 于是第j个方程; aj1x1+aj2x2+?+ajnxn=bj改变为 (aj1+kai1)x1+(aj2+kai2)x2+? +(ajn+kain)xn=bj+kbi即 aj1x1+aj2x2+?+ajnxn +k(ai1x1+ai2x2+?+ainxn)=bj+kbi显然, 满足原方程组的解必满足新方程组, 反之, 满足新方程组的解必满足原方程组.于是, 新方程组与原方程组是同解方程组.;用消元法解线性方程组的一般步骤如下:首先写出方程组(3.1)的增广矩阵(A b).第一步, 设a11?0, 否则, 将(A b)的第一行与另一行交换使第一行第一列的元素不为0.;对这个矩阵的第二行到第m行, 第二列到第n列再按以上步骤进行, 如果有必要, 可重新安排方程中未知量的次序, 最后可以得到如下形状的阶梯形矩阵;其中aii?0 (i=1,2,?,r);其相应的阶梯方程组为;从上面的讨论易知, 方程组(3.4)与原方程组(3.1)是同解的方程组.由(3.4)可见, 化为0=0形式的方程是多余的方程, 去掉它们不影响方程组的解.我们只需讨论阶梯形方程组(3.4)的解的各种情形, 便可知道原方程组(3.1)的解的情形.;1. 如果(3.4)中dr+1?0, 则满足前r个方程的任何一组数k1,k2,?,kn,都不能满足0=dr+1这个方程, 所以(3.4)无解, 从而(3.1)也无解.2. 如果(3.4)中dr+1=0, 又有以下两种情况.;(1) 当r=n时, 方程组(3.4)可写成;(2) 当rn时, 方程组(3.4)可写成;它由n-r个自由未知量xr+1,?,xn取不同值而得不同的解.如果取xr+1=c1, xr+2=c2,?, xn=cn-r, 其中c1,c2,?,cn-r为任意常数, 则方程组(3.7)有如下无穷多解:;它是(3.4)的无穷多个解的一般形式, 也是(3.1)的无穷多个解的一般形式.;总之, 解线性方程组的步骤是: 用初等行变换化方程组(3.1)的增广矩阵为阶梯形矩阵, 根据dr+1不等于零或等于零判断原方程组是否有解. 如果dr+1?0, 则有r(A)=r, 而r(A b)=r+1, 即r(A)?r(A b), 此时方程组(3.1)无解; 如果dr+1=0, 则有r(A)=r(A b)=r, 此时方程组(3.1)有解. 而当r=n时, 有唯一解; 当rn时, 有无穷多解. 然后, 回代求出解. 由以上讨论可得出以下定理.;定理3.1 线性方程组(3.1)有解的充分必要条件是: r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)n时有无穷多解.例1中的线性方程组是三元方程组, 由于r(A)=r(A b)=3, 所以方程组有唯一解.;例2. 解线性方程组;因为r(A b)=r(A)=24, 故方程有无穷多解. 接上式进行回代有;;取x3=c1,x4=c2(其中c1,c2为任意常数), 则方程组的全部解为;例3. 解线性方程组;因为r(A)=3, r(A b)=4?r(A), 所以原方程无解.;例4. a取何值时, 线性方程组;解:;当a=1时, r(A)=r(A b)=13, 方程组有无穷多个解: 设x2=c1, x3=c2(c1,c2为任意常数), 于是得到方程组的一般解;当线性方程组(3.1)中的常数项均为零时, 这样的线性方程组称为齐次线性方程组, 其一般形式为;方程组(3.9)恒有解, 因为它至少有零解. 由定理3.1可知, 当r(A)=n