线代3.1 线性代数教材.pptVIP

 第三章 向量空间Rn §3.5 欧氏空间Rn §3.3 向量组的秩 §3.2 一个n元向量组的线性相关性 §3.1 向量及其线性组合 §3.4 向量空间 §3.1 向量及其线性组合 三维空间的向量: 有向线段。 建立标准直角坐标系后， 它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。 我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。 建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算. 由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。 一、定义1 n 个数组成的有序数组 称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 称为该行(列)向量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量. 分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向量的全体记为 . 以后如无特殊说明, 向量均指实向量. 约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示. 向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样. 或 向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 在Rn中的向量满足以下8条规律： 其中 a、b、g 都是n维向量，k、l为实数。 二、向量的线性运算 观察如图三维空间中的向量, 必有 不可能 再观察下面方程组增广矩阵的行组 有如下关系 这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉. 对于向量组 , 表达式 则称向量 可由向量组 A 线性表示. 通常写成 称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向量组 A 的一个线性组合, 即存在数 使 三、向量的线性表示 1°零向量可由任一组向量线性表示。 中每个向量都可由向量组本身 2°向量组 线性表示， 注意 3°任一n元向量 都可由n元单位向量组 线性表示，即 n元线性方程组 可以用向量形式表示为 a11x1 a21x1 ??? am1x1 a12x2 a22x2 ??? am2x2 ??? ??? ??? ??? a1nxn a2nxn ??? amnxn b1 b2 ??? bm = = = = + + + + + + + + + + + + (1) 其中 对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为 , , …， ， 线性方程组的向量表示 向量 可由向量组 线性表示 存在数 使 即 有解 注意:符号混用 另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. (按定义) (转换为方程组) (用矩阵的秩) 方程组 定理3.1.1 例2：判断向量 是否是向量组 的线性组合？ 例3：设向量 线性表示？ 例4 解 记 不能由 A 线性表示; 能由 A 唯一表示; 能由 A 有无穷多种表示, 并求所有表示方法. 设向量组 A: 问 为何值时, 向量 只需讨论 解的情况. 具体解方程组过程略。 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示. 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示. 通解为 所有表示方法: 其中 k 为任意实数. 即 * * * *