线代1.2 线性代数教材.pptVIP

讨论有n个未知数m个方程的线性方程组 ⑵ 若有解，解是否唯一？ ⑶ 如何求出所有的解？ ⑴ 是否有解？ 第二节 解线性方程组的消元法 （2.1） 1、非齐次线性方程组 使（2.1）每个方程成为恒等式 一、基本概念 2、方程组（2.1）有解 3、齐次线性方程组 对应 系数矩阵 增广矩阵 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的。 回顾: (1) 方程组的三种初等变换 (2) 矩阵的初等行变换 注意方程组的初等变换与方程组的 增广矩阵 的初等行变换的联系。 (3) ×(-1/2) 消元过程结束， 以下过程称为“回代过程”。 (3)-(2) （阶梯形方程组） （行阶梯形矩阵） (2) ×(-1/3) (1)-(3)×2，(2)+(3)×2 (1) －(2) (行最简阶梯形) 原方程组的解为： (2)消元过程就是将增广矩阵化为阶梯形的过程; (3)回代过程就是将阶梯形矩阵化为行最简形的过 程. (1)方程组的初等变换可用其增广矩阵的相应的 初等行变换来表示。 （不能用列变换） 注意: 解线性方程组的过程就是将其增广矩阵化为阶梯形进而化为行最简形的过程。 解: 对方程组的增广矩阵进行初等行变换 例2 解线性方程组 二、非齐次线性方程组解的判断及其求解 接下来做什么？ 与行阶梯形矩阵对应的同解方程组为 由于方程组中出现了矛盾方程“0=-15”， 从而原方程组无解。 无解 1.若增广矩阵化成的阶梯形矩阵的最后一个非零行上只有一个非零元素而且是出现在最后一列，则方程组无解。 2.若增广矩阵化成的阶梯形矩阵的最后一个非零行上第一个非零元素不是出现在最后一列，则方程组有解。 (2.1)阶梯形的非零行数=未知量个数，有唯一解 (2.2)阶梯形的非零行数未知量个数，有无穷解 而 2.若增广矩阵化成的阶梯形矩阵的最后一个非零行上第一个非零元素不是出现在最后一列，则方程组有解。且 同解方程组为： 1.若增广矩阵化成的阶梯形矩阵的最后一个非零行上只有一个非零元素而且是出现在最后一列，则方程组无解。 2.若增广矩阵化成的阶梯形矩阵的最后一个非零行上第一个非零元素不是出现在最后一列，则方程组有解。 (2.1)阶梯形的非零行数=未知量个数，有唯一解 (2.2)阶梯形的非零行数未知量个数，有无穷解 非齐次线性方程组解的判定方法 解题步骤: 方程组 增广矩阵 行最简形 同解方程组 得其解 阶梯形矩阵判断有无解 有解 行变换 无解 结束 例3：解方程组 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换 同解方程组为： 移项： 所以原方程组的所有解为： 其中 为任意实数。