实对称矩阵标准形.pptVIP

再求属于　　　 的特征向量，即解方程组 得其基础解 再单位化得 这样 　　　　　构成 　 的一组标准正交基，它们 都是A的特征向量，正交矩阵 使得 注意 成立的正交矩阵不是唯一的．　　　 1. 对于实对称矩阵A，使　　　　　 而且对于正交矩阵T, 还可进一步要求 证：如果由上述方法求得的正交矩阵T　 取正交矩阵 则 是正交矩阵且 同时有 2. 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与 实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的． 3. 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可 用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性： 设 　　 为实对称矩阵A的所有特征值 (i) A为正定的 (ii) A为半正定的 (iii) A为负定（半负定）的 (iv) A为不定的 且 4. 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特 特征值的个数（重根按重数计）． n－秩(A)是0为A的特征值的重数. 1、解析几何中主轴问题 将 上有心二次曲线或 　上有心二次曲面通过坐标 的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵. 四、实二次型的主轴问题 2、任意n元实二次型的正交线性替换化标准形 （1）正交线性替换 如果线性替换 X=CY 的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换. （2）任一n元实二次型 都可以通过正交的线性替换 变成平方和 其中平方项的系数 　　为A的全部特征值． 例2 在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 ① ② 则①式可以写成 令 对②中的　 　　　　　有正交矩阵C（且 　 　 ） 确定的坐标变换公式 或 这样由②知道经过由　　　　 的坐标轴旋转， 曲面①的方程化成 其中 这时，再按　　　 是否为零，作适当的坐标轴的 平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程． 如当　　　　全不为零时，作平移 曲面方程①可以化为 其中 §9.6 对称矩阵的标准形 §2 标准正交基　　　 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 　 距离─最小二乘法 第九章 欧几里得空间 §5 子空间 §9.6 实对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 其中 为 的共轭复数， 又由A实对称，有 令 由于　是非零复向量，必有 故 引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间　 上 定义一个线性变换　如下： 则对任意　　　　　有 或 证：取 的一组标准正交基， 则　在基　 下的矩阵为A，即 任取　　　　　 即 于是 又 　　　　是标准正交基， 二、对称变换 1、定义 则称　为对称变换（symmetric transformation）． 设　为欧氏空间V中的线性变换，如果满足 2、基本性质 （1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 1） 实对称矩阵可确定一个对称变换． 正交基． 证：设 为V的一组标准 定义V的线性变换　： 则　即为V的对称变换． 2） 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． 为V的一组标准正交基， 证：设　 为n维欧氏空间V上的对称变换， 为　在这组基下的矩阵，即 或 于是 即 所以A为对称矩阵． 由　是对称变换，有 （2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 对　　　　 　　　　 任取 即　 　　　 证：设　 是对称变换，W为　 的不变子空间． 由W是　 子空间，有 因此　 故 　 也为　的不变子空间． 1、（引理4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于 的特征向量． 则 三、实对称矩阵的正交相似对角化 是正交的． 基下的矩阵， 证：设实对称矩阵A为　 上对称变换　的在标准正交 是A的两个不同特征值 ，　　　 又 即 正交． 有 即 由 （定理7）对 　　　　　　　 总有正交矩阵T，使 ２、 证：设A为　 上对称变换　在标准正交基下的矩阵．　 由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证 　有n个特征向量作成的标准正交基即可． n=1时，结论是显然的． 对　 的维数n用归纳法． 有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即 假设n－1时结论成立，对 设其上的对称变换 设子空间 显然W