第6章 节 期权定价 金融工程课件.ppt

从上面分析可以看出，(1)和(2)中的 相同，都等于 。为了消除 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资 组合的价值，则： (3) 在 时间后，该投资组合的价值变化 为： (4) 将式（1）和（2）代入式（4），可得： （5） 由于式（5）中不含有 ，该组合的价值在一个小时间间隔后 必定没有风险，因此该组合在 中的瞬时收益率一定等于 中的无风险收益率。因此： (6) 把式（3）和（5）代入上式得： 化简为： （7） 这就是著名的布莱克——舒尔斯微分方程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。 ? 观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率（ ）并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f的值产生影响。 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 风险中性定价原理: 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。 风险中性定价原理 ? 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 ? 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。 风险中性定价原理的应用 为了找出该期权的价值，考虑组合： 一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的。 若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11 －0.5）元；若3个月后该股票价格等于 9 元时，该组合价值等于 9 元。 为了使该组合价值处于无风险状态，应选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着： 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。 11 －0.5= 9 =0.25 假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为： 由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0.25 单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。 事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。换句话说，无风险收益率与上升下降的概率之间是一一对应的。 例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求： P=62.66%。 又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求： P=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为： 其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价 原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进 行贴现后的现值，即： （8） 对（8）右边求值是一种积分过程，结果为： 其中， （9） N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有 。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。 对于布莱克－舒尔斯期权定价公式的理解： 在B-S公式中， 1） N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率. 2） e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 3） SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值 。 因此，这个公式的实质就是未来收益期望值的贴现。 无收益资产的欧式看跌期权的定价公式 根据欧式看涨期权和