第2章 节 解析函数 复变函数与积分变换 .pptVIP

第2章 解析函数;1、 复变函数的导数 定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 若极限 （或 ） （2.1） 存在，则称 在点 处可导，;此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导，则称 在 内可导. ;例1 求函数 的导数（ 为正整数）.;例2 求 的导数.;反之，函数 在 连续却未必在 可导，例如，例3中的函数 在复平面内处处连续却处处不可导. 3、 复变函数的微分 定义2 称函数 的改变量 的线性部分 为函数 在点 处的微分，记作 或 ，即 ;2.1.4 导数运算法则 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）： （1） 其中 为复常数； （2） 其中 为正整数； （3） ；;（6） ； （7） 是两个互为反函数的单值函数，且 .;例3 求下列函数的导数.;例4 设;;如果 在点 处不解析，,则称 为 的奇点.;2. 解析函数的运算性质： （1）若函数 和 在区域 内解析， 则 、 、 在 内也解析； （2）若函数 在区域 内解析，而 在区域 内解析，且 ，则复合函数 在 内也解析，且.;2.2.2函数解析的充要条件 定理１ 设函数 在区域 内有定义，则 在 内可导的充分必要条件为 在 内任一点 处 （1）可微； （2）满足 上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）. ;定理２ 函数 在区域 内解析的充要条件为 （1） 在 内连续； （2） 在 内满足C—R条件 ，;例2 讨论函数 的可导性，并求其导数.;且;例3 讨论函数　　　　　 的可导性.;例4 证明 在复平面上不可微.;例5 讨论下列函数的解析性. （1） ； （2） ；（3） .;（2）因为 ，; 这四个偏导数虽然处处连续，但C—R条 件仅在原点处成立，因而函数 在复平面内的原点处可导，其它点不可导， 可知该函数在复平面上处处不解析.;2.3 初等函数 2.3.1 指数函数 定义