陈维恒《微分几何》答案.doc

第二章 p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率： (2) ；(4) . 解. (2) ，, , , , . (4) ，, , ， ，，(). 4. 求曲线在处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为, ，，. 则满足题给的方程组，所以有 . 对上式求导得 . (1) 再求导，得 . (2) 在处，由(1)解出，. 不妨设. 所以 . 代入(2)得 . 所以 ，，. 于是 . 所以在处，曲率为，密切平面方程为 ，即. 7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它