概率论与数理统计学习指导及习题解析第7章 节 　参数估计.ppt

第 7 章　参 数 估 计; 第一节 知 识 梳 理; 第二节 重 点 解 析　　1. 点估计及其求法　　1) 点估计的概念　　定义： 设总体 X 的分布中含有未知参数θ， 且X1， X2， …， Xn是来自总体X的一个样本，x1，x2， …， xn是相应的一个样本值。;　　若构造一个适当的统计量 (X1，X2， …， Xn)， 用其观测值 (x1， x2， …， xn)作为θ的近似值， 则称 (X1,X2,…， Xn)是θ的一个估计量， 并称　 (x1，x2， …， xn)是θ的一个估计值。θ的估计量与估计值统称估计， 并都简记为 。;　　2) 矩估计法　　定义： 设总体X的分布中仅含有 l 个未知参数θ1， θ2， …， θl， 且X1，X2， …， Xn是来自总体X的一个样本。 若X的前l阶原点矩ak=E(Xk)(k=1， 2， …， l)存在， 则ak=E(Xk)(k=1， 2， …， l)均为未知参数θ1， θ2， …，θl的函数， 记　　ak=E(Xk)=ak(θ1，θ2， …， θl) (k=1， 2， …， l);　　3) 最大似然估计法　　（1） 离散型总体情形。设离散型总体X的分布律为P{X=x}=p(x；θ1， …，θl)， x=x(1)， x(2)， …， 其中θ1，θ2， …，θl是未知参数。 如果取得样本值 x1， x2， …， xn， 那么出现此样本值的概率为显然上式是未知参数θ1，θ2， …，θl的函数， 称之为似然函数。;　　根据最大似然原理， 既然已取得样本值x1，x2， …， xn， 就可认为当时确定总体成分的未知参数θ1，θ2， …， θl的取值， 应使样本值x1，x2， …， xn出现的概率L为最大。于是， 可选择θ1，θ2， …，θl的适当值　1， 2,…,  l， 使;　　（2） 连续型总体情形。 设连续型总体X的密度函数为f(x; θ1， …，θl)， 其中θ1，θ2， …，θl是未知参数。若X1， X2， …，Xn是来自总体X的一个样本， x1，x2， …， xn是已取得的一个样本值， 则n维随机点(X1，X2， …，Xn)落在包含定点(x1，x2， …， xn)的一个n维小立方体　　Ω：x1≤t1x1+dx1，x2≤t2x2+dx2， …， xn≤tnxn+dxn;　　上的概率;　　3. 区间估计　　1) 置信区间的概念　　定义： 设总体X的分布中含有未知参数θ，且X1， X2， …，Xn为总体X的一个样本。 若对事先给定的α(0α1)， 存在两个统计量θ和θ， 使得P{θθθ}=1－α， 则称区间(θ， θ)是θ的置信度为1－α的置信区间，θ与θ分别称为置信下限与置信上限， 1－α称为置信度或置信概率;　　2) 单个正态总体均值与方差的区间估计　　（1） 当总体方差σ2已知时，均值μ的置信度为1－α的置信区间为;　　（3） 方差σ2的置信度为1－α的置信区间为;　　3) 两个正态总体均值差与方差比的区间估计　　（1） 两个正态总体均值差μ1－μ2的置信区间:　　① 当σ21和σ22均已知时，μ1－μ2的置信度为1－α的置信区间为;　　② 当σ21=σ22=σ2为未知时， μ1－μ2的置信度为1－α的置信区间为;　　4) 单侧置信区间　　定义： 设总体X的分布中含有未知参数θ， 且X1， X2， …， Xn为总体X的一个样本。对事先给定的α(0α1)， 若存在一个统计量θ， 满足P{θθ}=1－α， 则称随机区间(θ， +∞)是θ的置信度为1－α的单侧置信区间， θ称为置信度为1－α的单侧置信下限； 若存在一个统计量θ，满足P{θθ}=1－α， 也称随机区间(－∞，θ)是θ的置信度为1－α的单侧置信区间，而θ称为置信度为1－α的单侧置信上限。;　　　　　第三节 典 型 例 题　　【例7.1】 设总体X服从对数正态分布, 且密度函数为求:　　(1) μ、 σ2的矩估计;　　(2) μ、 σ2的最大似然估计。;　　解 （1） 由已知可算得;;　　令;　　（2） 似然函数为;　　令;　　解得μ和σ2的最大似然估计分别为;　　【例7.2】 设总体X的密度函数为;　　【例7.3】　　设总体X~U(0，θ)，X1， …，Xn为X的样本， 证明　　　　　　为θ的无偏估计， 并且是相合估计。　　证明 X的分布函数为;　　从而X*n的分布函数为;;　　由于;　　故;　　【例7.4】 已知总体X服从瑞利分布， 其密度函