概率论与 及数理统计数学期望.pptVIP

= E（X2）- [E（X）]2 3. 方差计算公式 公式 证明： D（X）= E{[X - E（X）]2} = E{X2 - 2X·E（X）+ [E（X）]2} = E（X2）- 2E（X）·E（X）+ [E（X）]2 例1．设随机变量 X～（0-1）分布，其概率分布为 P{X=1}= p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D（X） 解：因 E（X）= p， 而 E（X 2）= 12·p + 02·q = p 于是 D（X）= E（X 2）- [E（X）]2 = p - p2 = p q。 下页 例2．设随机变量X具有概率密度 ,求D(X). 所以 解： 下页 4. 常见分布的期望与方差 1) 0 -1分布 概率分布为 X 1 0 pk p 1-p E（X）= 1× p + 0 × (1-p) = p 2) 二项分布 设随机变量X～B（n，p），其概率分布为: D（X）= E(X2)-[E(X)]2= p-p2 = p(1-p) = pq 下页 2) 二项分布 设随机变量X～B（n，p），其概率分布为: D（X）=E（X2）- [E（X）]2 所以 D（X）=E（X2）- [E（X）]2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq 下页 4. 常见分布的期望与方差 3) 泊松分布 设随机变量X~Ｐ（λ），其概率分布为： ，k = 0,1,2,3,…,λ＞0 下页 4. 常见分布的期望与方差 3) 泊松分布 设随机变量X~π（λ），其概率分布为： ，k = 0,1,2,3,…,λ＞0 D（X）=E（X2）- [E（X）]2 因此, D（X）= E（X2）- [E（X）]2 =λ2 +λ-λ2 =λ 下页 《概率统计》 下页 结束 返回 第四章 随机变量的数字特征 何谓随机变量的数字特征？ 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值. 1. 数学期望的概念及性质； 2. 方差的概念及性质； 3. 常见分布的数字特征; 本章内容： 4. 协方差、相关系数的概念及性质. 下页 一 、离散型随机变量的数学期望 引例．有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用下表给出： §4.1 数学期望 问题：谁的射击水平高？ 解：“射击水平”一般用平均击中环数来反映. 所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可. 下页 引例．有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用下表给出： 问题：谁的射击水平高？ 解：“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可. 显然，甲射手的水平较高. 下面再对“平均击中环数”的计算过程稍作分析. 下页 显然，“平均击中环数”，是各种环数以频率为权的加权平均. 下页 定义 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X = xk }= pk ， k =1,2,3… 若级数 绝对收敛， 则称级数 为 X 的数学期望（或均值）， 记作E（X），即 “平均击中环数”，是各种环数以频率为权的加权平均。 下页 （2）旅客8：20分到达(须考虑其后的5班车) X的分布率为 下页 E(X)=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分) 常见分布的期望 1) 0-1分布 概率分布为: X 1 0 pk p 1-p E（X）= 1× p + 0 × (1-p) = p 2) 二项分布 设随机变量X～B（n，p），其概率分布为: 下页 常见分布的期望 3) 泊松分布 设随机变量X~P(λ)，其概率分布为 ，k = 0,1,2,3,…,λ＞0 下页 例3. 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ， 失败的机会为70%，将 损失 2 万元．若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资? 解: 设 X 为投资利润，则 存入银行的利息为, 故应选择投资. 二、连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如果积分 绝对收敛，则称积分值为X的数学期望（或均值）. 记作E（X），即 下页 例4．设随机变量X的概率密度为 求X的数学期望． 解：E(X) = 0 因为，奇函数在对称区间上的积分等于0. 下页 4) 均匀分布 设X ～U[a,b] 概率