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《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章行列式§1.1 定义这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别这是三元线性方程组代数和右下斜线为正左下斜线为负3阶行列式偶排列，正号奇排列，负号§1.2 逆序数逆序数n阶排列，有n!个n阶排列§1.3 n阶行列式的代数和§1.4行列式性质1、行列式转置值不变：2、k可以乘上某行(列)：3、加法：某行之和展开为两行列式之和：4、互换两行(列)：负号5、两行相同(成比例)：零值6、某行乘以k加到另一行：值不变所在行列的和(同等于逆序数τ)§1.5代数余子式余子式：删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式代数余子式n阶行列式§1.6 范德蒙行列式第二章线性方程组§2.1 克莱姆法则系数行列式(b在1列)类似左边该解法适用于n阶当时，方程组有唯一解：只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。如果线性方程组，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。§2.3 数域　　　n维基本向量组§2.4 n维向量数量乘积：零向量：负向量：行向量与列向量：　§2.5 线性相关rank=n，有唯一解rankn，有无穷多解由向量组线性表出常数项为0的充要条件α线性相关有待更进一步补充α线性无关K有解，且不全0K只有零解时不一定不能线性表出不可逆，因为分母不能为0可逆rn ，称退化的r=n称非退化(或满秩)特征值有重根，不一定相关特征值无重根一定无关极大线性无关组：每个向量都不能被前面某些向量线性表出例不能表出，即§2.6 秩rank=极大线性无关组的向量个数详见书P154-155页例6§2.7 求全部解和基础解系的步骤第一步：求梯阵注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系，又称特征向量第二步：求一般解n-r个第三步：求特解γ0第四步：求齐次的一般解即即n维基本向量组第五步：求基础解系第六步：答：得全部解基础解系特解全部解第三章矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵：系数矩阵：增广矩阵：左下：对角线左三角形梯阵：约化梯阵：三角矩阵：对角线上的元素对角矩阵：单位矩阵：零矩阵：数量矩阵：转置矩阵：分块矩阵：b即系数Rank即矩阵的秩满秩矩阵：逆矩阵：伴随矩阵：等价矩阵：初等矩阵：正交矩阵：相似矩阵：约当形矩阵：二次形矩阵：实对称矩阵：λ即特征值(半)正定矩阵：(半)负定矩阵：不定矩阵：标准形矩阵：附2：一般n维线性方程组、s×n维矩阵、n维向量组的表示法注：全为0时，称齐次线性方程组不全为0时，称非齐次线性方程组注：s为行数，n为列数(未知数个数)附：有的书行数用m表示注：这个既可理解为：基础解系的系数也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素还可以理解为：二次型的特征值 (同上句)附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师或某书中用“”表示，我认为不错，不易混淆。§3.1 矩阵运算各个元素对应相加（减），即1、加(减)法：性质：交换律：结合律：2、乘法：注：A的|row|=B的|column|性质：（当，称可交换）结合律：k次幂：非交换律：详见书P183页 AB§3.2分块分块后矩阵的基本运算依然等价§3.3 逆矩阵1、求aij的代数余子式Aij2、对应的元素要转置伴随矩阵：求逆公式：§3.4 等价矩阵等价矩阵：初等矩阵：标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。用单位矩阵求逆：§3.5 正交矩阵性质:又称正交向量组，一定线性无关任意两行或列的内积必为0分配律：结合律：交换律：内积性质：详见书P219页例1正交化：附：由于向量通常是指列向量，如把改更易理解，谨记！施密特正交化方法（又称归一化）正交向量组单位化：注：这里我设，数学中并没有明确规定符号正交单位向量组第四章矩阵的对角化§4.1 相似矩阵1、反身性：2、对称性：，且有矩形，且有矩形3、传递性：4、行列式等值：11、有相同的特征多项式12、有相同的特征值13、有相同的迹（即对角线元素个数）5、同时可逆or不可逆6、7、8、9、10、对角矩阵：注：这里的Ai是指分块矩阵，不是代数余子式准对角矩阵：§4.2 特征值和特征向量特征向量n 阶矩阵特征值详见书P257页例1详见书P241页例1求全部特征向量的步骤：第一步：列出特证多项式是系数第二步：求λ的解注：考虑是在Q、R、C数域范围内，特征根的个数不同第三步：求基础解系将代入，求基础解系见§2.7第五步即属于的特证向量：属于的特证向量：等价于基础解系，只是表示方法略不同第四步：答：得特征向量任何实对称矩阵都可