2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第三章+导数及其应用+第3节+Word版含答案.docVIP

第3节　定积分与微积分基本定理 必威体育精装版考纲　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义. 知 识 梳 理 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi) f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝ 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式. (2)定积分的几何意义 f(x) f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)＜0 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a，b]上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 2.定积分的性质 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数). (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b). 3.微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a). [常用结论与微点提醒] 1.函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx. (2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0. 2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　) (2)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是(x2－x)dx.(　　) (3)若f(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(　　) (4)定积分f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.(　　) (5)加速度对时间的积分是路程.(　　) 解析　(2)y＝x2与y＝x所围成的面积是(x－x2)dx. (3)若f(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大. (4)定积分f(x)dx等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成图形的面积的代数和. (5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　) A.10t B.5t C.t D.t 答案　B 3.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 解析　如图，y＝4x与y＝x3的交点 A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积. S阴＝(4x－x3)dx＝0 ＝8－×24＝4. 答案　D 4.汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是(　　) A. m B.6 m C. m D.7 m 解析　s＝(3t＋2)dt＝ ＝×4＋4－＝10－＝(m). 答案　A 5.若x2dx＝9，则常数a的值为________. 解析　x2dx＝x3＝－a3＝9，∴a3＝－27，a＝－3. 答案　－3 考点一　定积分的计算(典例迁移) 【例1】 (1)(2017·合肥模拟)(cos x＋1)dx＝________. (2)|x2－2x|dx＝________. (3)(2x＋)dx＝________. 解析　(1)(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝π. (2)|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx ＝＋＝＋4＋4－＝8. (3)dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的， ∴dx＝. 又∵ 2xdx＝x2＝1， ∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx ＝1＋. 答案　(1)π　(2)8　(3)1＋ 【迁