2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第二章+函数概念与基本初等函数I+第3节+Word版含答案.docVIP

第3节　函数的奇偶性与周期性 必威体育精装版考纲　1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义会判断、应用简单函数的周期性. 知 识 梳 理 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)那么函数(x)是偶函数 关于y轴对 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)那么函数(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)如果存在一个非零常数T使得当x取定义域内的任何值时都有f(x＋T)＝(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [常用结论与微点提醒] (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义即f(0)有意义那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数那么f(x)＝f(|x|). 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)则T＝2a(a0). (2)若f(x＋a)＝则T＝2a(a0). (3)若f(x＋a)＝－则T＝2a(a0). 诊 断 自 测 思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x在x∈(0＋∞)时是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期则nT(n∈Z)也是函数的周期.(　　) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数则函数y＝f(x)的图象关于点(b)中心对称.(　　) 解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称故y＝x在(0＋∞)上不是偶函数(1)错. (2)由奇函数定义可知若f(x)为奇函数其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0(2)错. (3)由周期函数的定义(3)正确. (4)由y＝f(x＋b)的图象关于(0)对称根据图象平移变换知y＝f(x)的图象关于(b)对称正确. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2(必修1例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　) ＝x＝x C.y＝|＝2－x 解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称选项为奇函数；选项为偶函数；选项定义域为(0＋∞)不具有奇偶性；选项既不是奇函数也不是偶函数. 答案　 3.已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1]上的偶函数那么a＋b的值是(　　) － C. D.－ 解析　依题意b＝0且2a＝－(a－1)＝则a＋b＝ 答案　 4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数当x∈[－1)时(x)＝则f ＝________. 解析　∵f(x)的周期为2＝f 又∵当－1≤x0时(x)＝－4x＋2 ∴f ＝f ＝－4×＋2＝1. 答案　1 (2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数且(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3]时(x)＝6－xf(919)＝________. 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2) ∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]即f(x＋6)＝f(x) ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1) 又f(x)在R上是偶函数 ∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6即f(919)＝6. 答案　6 考点一　函数的奇偶性 【例1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x(x＋)为偶函数则a＝________. 解析　f(x)为偶函数则yln(x＋)为奇函数 所以(x＋)＋(－x＋)＝0 则(a＋x－x)＝0＝1. 答案　1 (2)判断下列函数的奇偶性： (x)＝＋； (x)＝； (x)＝ 解　①由得x＝3解得x＝± 即函数f(x)的定义域为{－}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x) ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 由得定义域为(－1)∪(0，1)，关于原点对称. －20－2|－2＝－x(x)＝ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x) ∴函数f(x)为奇函数. 显然函数f(x)的定义域为(－∞)∪(0，＋∞)关于原点对称. 当x0时－x0 则f(－x)＝－(－x)－x＝－x－x＝－f(x)； 当x0时－x0 则f(－x)＝(－x)－x＝x－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x总有f(－x)＝－f(x)成立函数f(x)为奇函数. 规律方法　1.判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域； (2)判断f(