《线性代数》学习指导.docVIP

第一章 行列式 一．内容提要 1．排列的逆序数：排列的逆序数 其中为元素的逆序数。逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。 2．对换：一次对换改变排列的奇偶性。 3．阶行列式的定义 （1）二阶行列式 （2）三阶行列式 （3）阶行列式 其中为排列的逆序数。 4．行列式的性质 性质1：行列式与其转置行列式相等。 性质2：交换行列式的任意两行（或列），行列式改变符号。特别地，如果行列式有两行（或列）对应元素相等或成比例，则行列式为零。 性质3：如果行列式的某一行（或列）有公因子，则该公因子可提到行列式记号外面来。 性质4：如果行列式的某一行（或列）为两组数之和，则该行列式可以分解为两个行列式之和。注意改变的仅仅是该行（或列），其他行（或列）不变。 性质5：把行列式的某一行（或列）乘以一个常数加到另一行（或列）上去，行列式的值不变。 5．行列式按行（或列）展开定理 ； 或 。 其中为元素的代数余子式，为元素的余子式。 6．特殊行列式的值 （1）对角行列式 （2）三角行列式 ， （3） （4）范德蒙行列式 二．典型例题精解 例1—1 求排列的逆序数。 【思路分析】元素比较多，找出元素逆序数的规律。 解 元素的逆序数为0； 元素的逆序数为； 元素的逆序数为； ……………………………… 元素的逆序数为。 所求排列的逆序数 。 例1—2 求多项式中的系数。 解 方法一：【思路分析】按行列式的定义计算 由行列式的定义，行列式的每一项是不同行与不同列的乘积，得 所以的系数为4。 方法二：【思路分析】按行列式展开定理计算 将行列式按第一行展开，得 所以的系数为4。 【注意】解答此类问题一般不要把行列式完全计算出来。 例1—3 计算四阶行列式 解 方法一：【思路分析】将行列式化成三角行列式 【注意】对于低阶行列式，都可直接化成三角行列式，但这样计算一般都比较麻烦，只有对某些特殊的行列式直接化成三角行列式才有效。 方法二：【思路分析】行列式的每列元素之和等于 方法三：【思路分析】利用行列式按行（或列）展开定理降阶进行计算 【注意】降阶法是计算行列式的有效方法之一。 例1—4 计算阶行列式 【思路分析】将行列式化成三角行列式 方法一：行列式的每行元素之和为，则 方法二：将行列式化成箭式行列式 【注意】形如 称为箭式行列式，它总可以通过变换化成上三角行列式。 例1—5 计算阶行列式 。 解 方法一：【思路分析】将行列式化成三角行列式 将行列式的第行提取因子，得 把行列式的第（）行加到第一行，并从第一行提取公因子，得 把行列式的第减去第一列，得 。 方法二：【思路分析】将行列式化成箭式行列式 把行列式的第（）行减去第一行，得 将第列乘以加到第一列，得 方法三：【思路分析】用加边法将行列式化成箭式行列式 方法四：【思路分析】用分项法建立递推公式，再解之。 即 递推，得 例1—6 计算三对角行列式 ，。 【思路分析】行列式的元素排列很有规律，可用递推法求解。 解 把行列式按第一行展开，得 整理得 即 行列式关于对称，则 由上两式解得 例1—7 计算四阶行列式 【思路分析】利用范德蒙行列式求解。 例1—8 解方程 解 方法一：【思路分析】为范德蒙行列式，可先计算。 所以方程的解为。 方法二：【思路分析】利用行列式的性质。 由行列式的性质知，当时，行列式的值为零；由行列式的定义是的次多项式，在实数范围最多有个根。所以方程的解为。 【注意】求解含有行列式的方程，一般是利用上面两种方法，即 （1）利用行列式的性质直接解方程； （2）求出行列式，再解方程。 例1—9 已知都能被整除，行列式 不计算行列式，证明能被整除。 【思路分析】利用行列式的性质证明含有因子。 解 把行列式的第一列乘以1000、第二列乘以100、第三列乘以10都加到第四列，得 的第四列有公因子，所以能被整除。 例1—10 设为方程的三个根，证明 【思路分析】由根与系数的关系知，利用行列式的性质证明行列式含有因子。 解 把行列式的第二列、第三列加到第一列，有 例1—11 设，则 。 【思路分析】利用行列式按行（或列）展开定理。 解 【注意】此类问题一般是用该方法解决，而不是将余子式和代数余