1999-2000学年第二学期高等数学期末考试（A）卷答案.docVIP

北 方 交 通 大 学 1999-2000学年第二学期高等数学B（Ⅱ）期末考试试卷（A卷）答案 ，则 ________________________． 2．交换积分次序 _______________________________． 3．已知是介于两平面与之间的圆柱面，则_______________． 4．设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 _____________． 5．函数在点处沿点指向点方向的方向导数为___________________． 解： 1．． 应填： 2．； 应填： 3．将曲面分为两个曲面： 与： 则与在平面上的投影都是 ： 所以， ． 应填： 4．由于幂级数的收敛半径为3，所以当时，幂级数收敛．所以，幂级数的收敛半径也为3．因此，对幂级数来说，当时，幂级数收敛．即当，或时，幂级数收敛．因此，幂级数的收敛区间为． 应填：； 5．由函数，得 ，， 所以， ， 又点处沿点指向点方向的方向向量为，所以， 因此， 应填：． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的_____________ ． （A）．充分而非必要条件； （B）．必要而非充分条件； （C）．充分必要条件； （D）．既非必要条件又非充分条件． 2．设，由 解得其驻点为、、，则______________ ． （A）．是函数的极小值； （B）．与都是函数的极小值； （C）．是函数的极大值； ； （D）．与都是函数的极大值． 3．设空间区域 ，， 则______________ ． （A）．； （B）． ； （C）．； （D）． ． 4．若级数收敛，则级数 ___________ ． （A）．一定绝对收敛； （B）．一定条件收敛； （C）．一定发散； （D）．可能收敛也可能发散． 5．已知与是微分方程的解，则（与为任意常数）__________________． （A）．是该方程的通解； （B）．是该方程的解，但不是通解； （C）．是该方程的一个特解； （D）．不一定是该方程的解． 解： 1．由二元函数的连续性与可导性之间的关系，可知二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的“既非必要条件又非充分条件”． 应选：（D）． 2．，，． 得 ，，； ，，； ，，． 所以，．因此不能断定是函数的极小值或极大值． ． ． 所以，与都是函数的极小值． 应选：（B）； 3．注意区域关于坐标面对称，并且在（C）中，被积函数 是变量的偶函数，又区域关于坐标面对称，并且在（C）中，被积函数 是变量的偶函数，因此利用积分的对称性，得． 应选：（C）． 4．如级数，则有收敛，但是级数发散；再如级数，则有收敛，而且级数也收敛． 应选：（D）． 5．通过验证可知与是微分方程的解，但是由于函数与线性相关，因此（与为任意常数）不是微分方程的通解． 应选：（B）． 三．（本题满分8分） 设二元函数，其中函数具有二阶连续的偏导数，求． 解： 所以， 四．（本题满分8分） 计算二重积分，其中． 解： 作极坐标变换 则积分区域变为 ，． 因此， 五．（本题满分8分） 试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）． 解： 因为 ，则 ．将上式两端逐项积分，得 ． 六．（本题满分8分） 设函数有二阶连续的导函数，而函数满足方程 试求函数． 解： ，， ， ， 代入原方程，得 解此二阶常系数线性微分方程，得通解，其中与为任意常数．此即为所求函数． 七．（本题满分8分） 计算曲线积分，其中为在第一象限沿逆时针方向的半圆弧． 解： ，．由 可知该曲线积分与路径无关． 因此我们可取直线上从到