《线性代数》学习指导 第二章 矩阵(56P).docVIP

第二章 矩阵 矩阵是线性代数的重要内容之一，它贯穿线性代数的各个部分。同时它也是自然科学、工程技术和经济管理中应用十分广泛的数学工具.本章主要介绍矩阵的概念、运算、初等变换和矩阵的秩. §2.1 矩阵及其运算 一、矩阵的概念 定义2.1 由数域P中的mn个数排成的m行n列的矩形数表： （2.1） 称为数域P上的矩阵。其中 aij （ i = 1 ，2 ，… ，m ；j = 1 ，2 ，… ，n ）称为矩阵的第i行第j列的元素, i称为元素的行标, j称为元素的列标. 实数域上的矩阵称为实矩阵，复数域上的矩阵称为复矩阵．本书只讨论实矩阵．矩阵（2.1）可简写为、,亦可用大写字母A 、B 、C或 Am × n 、Bm × n 、C m × n等表示. m=n时矩阵（2.1）称为n阶矩阵或方阵。方阵 A = ???（2.2） 中由左上角至右下角的直线称为主对角线，aii （i = 1 ，2 ，… ，n）称为主对角元。由右上角至左下角的直线称为副对角线. 方阵中主对角线以外的元素全为零的矩阵 称为对角阵，对角阵亦可记为.今后在表示对角阵时，主对角元以外的零元可以不写，即简单地用 来表示对角阵. 主对角元相等的对角阵 称为数量矩阵. 主对角元全为1的对角阵 称为n阶单位矩阵。记作E（ 或En ） n=1时，矩阵（2.1）称为列矩阵.此时 A = m=1时，矩阵（2.1）称为行矩阵.此时 m=n=1时，1阶矩阵为一个数. 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作Om × n 或O ，有时列矩阵中的零矩阵也常用0来记. 实际应用中有很多问题都可用矩阵来表示. 例1 （运输问题）将某种产品从m个产地运到n个销地，设aij为由产地Ai（i = 1 ，2 ，… ，m）到销地Bj（j = 1 ，2 ，… ，n）的运量，则调运方案如下表： 调运量 销地 产地 B1 B2 … Bn A1 A2 … Am a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn 上述调运方案可用矩阵简略地表示为： 例2 线性方程组 ?（2.3） 的未知数的系数构成的矩阵 A = 是m × n矩阵，称为线性方程组（2.3）的系数矩阵. 将（2.3）的常数项添加到系数矩阵A中构成的矩阵 是矩阵，称为线性方程组（2.3）的增广矩阵，记作 ． 线性方程组（2.3）的第i个方程的未知数的系数及常数项构成行矩阵： 线性方程组（2.3）的常数项构成列矩阵： B = 方程组（2.3）的n个未知数构成列矩阵： X = 二、矩阵的运算 两个具有相同行数和相同列数的矩阵称为同型矩阵. 定义2.2 设两个同型矩阵A = ，B = ，若它们的对应元素相等，即 =? （ i = 1 ，2 ，… ，m ；j = 1 ，2 ，… ，n ） 则称矩阵A与B相等，记作 A = B ． 1．矩阵的加法 定义2.3 设两个同型矩阵 A = ，B = ．称矩阵 为矩阵A与B的和，记作 A ＋ B ．即 A ＋ B = (2.4) 定义2.4 设A = ，称矩阵 为A的负矩阵，记作 ．即 = (2.5) 利用负矩阵可定义矩阵的减法：A － B =??A ＋（－ B）． 矩阵的加法满足运算律： （1） A ＋ B = B ＋ A （交换律） （2） （A ＋ B）＋ C =??A ＋（B ＋ C） （结合律） ??? （3） A ＋ O = A （4） A ＋（－ A）= O 2．数与矩阵的乘法 定义2.5 设A = ，k为数。称矩阵 为数k与矩阵A的数量乘积，简称数乘，记作 k A（或 A k）．即 k A = （2.6） 由数乘运算定义，数量矩阵可记为 矩阵的数乘运算满足运算律： (1) 1 A =??A (2) k（l A）=（k l）A= l（k A） (3) （k ＋ l）A = k A ＋ l A (4) k（A ＋ B）= k A ＋ k B 其中k 、l为数。 矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算. 例3 设 解 3．矩阵的乘法 定义2.