2015年-20题解析.docVIP

20．(本小题满分16分) 设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． 2，2，2，2依次成等比数列； a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列？并说明理由； 3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n＋ka3n＋2ka4n＋3k＝2＝2d (n＝1，2，3)是同一个常数， 所以 2，2，2，2依次成等比数列． 说明：考生基本写成＝2＝2d，＝2＝2d， ＝ 2＝2d． 方法二：因为 2a2＝a1＋a3，所以(2)2＝2·2． 同理(2)2＝2·2． 所以 2，2，2，2 依次成等比数列． （2） 基本逻辑段： 第一段：转化条件，即将四项成等比转化为关系式， 其中 (a33)2＝a22·a44 是关键； 第二段：对关系式进行化简，转化为二次式或三次式； 第三段：得出矛盾并下结论． 方法一：令 a1＋d＝a， 则 a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d (a＞d，a＞－2d，d≠0)． 假设存在 a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列， 则 a4＝(a－d)( a＋d)3，且 ( a＋d)6＝a2(a＋2d)4． 令 t＝，则 1＝(1－t)(1＋t)3，且 ( 1＋t)6＝(1＋2t)4 (－＜t＜1，t≠0)， 化简得 t3＋2t2－2＝0 （*），且t2＝t＋1． 将 t2＝t＋1代入（*）式， 得 t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－． 显然 t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此，不存在 a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列． 方法二：存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列． 则 化简得 （*） 记 t＝，则（*）式可化为 由 2t3＋6t2＋4t－1＝0 得 2t(t2＋3t)＋4t－1＝0． (**) 将 t2＋3t＝－1 代入(**)式，解得 t＝． 显然 t＝与t2＋3t＋1＝0矛盾． 故不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列． 方法三：假设存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列． 则 化简得 （*） 记 t＝，则（*）式可化为 由 t3－4t2－6t－2＝0，得 t3－4t2－2(3t＋1)＝0 ， (**) 将 3t＋1＝－t2代入(**)，得 t＝2． 显然 t＝2 与 t2＋3t＋1＝0 矛盾． 故不存在a1，d，使得 a1，a22，a33，a44依次成等比数列． 方法四：假设存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a44 依次成等比数列． 则 化简得 （*） 由 2a13＋6a12d＋4a1d2－d3＝0，得2a13＋6a12d＋4a1d2＝d·d2， (**) 由 a12＋3a1d＋d2＝0，得d2＝－a12－3a1d，代入(**)式， 得 2a13＋6a12d＋4a1d2＝d(－a12－3a1d)， 整理得 2a12＋7a1d＋7d2＝0． 因为 △＝(7d)2－4×2×7d2＝－7d2＜0，所以 2a12＋7a1d＋7d2＝0无解． 故不存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a44 依次成等比数列． 方法五：假设存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列， 则 化简得 从而 (a22)2＝a1·a2·a42，即 a23＝a1·a42． 化简得 3a12＋6a1d－d2＝0． （*） 又由 a33＝a2·a42得 (a1＋2d)3＝(a1＋d) (a1＋3d)2， 即 a12＋3a1d＋d2＝0． (**) ①＋②，得 4a12＋9a1d＝0，即 a12＋3a1(a1＋3d)＝a12＋3a1a4＝0， 因为 a1＞0，a4＞0，所以 a12＋3a1a4＝0 不成立． 故不存在 a1，d，