第10章 有心力.docVIP

第十章思考题 10.1. 试从数学上证明有心力场是保守力场. 10.2. 可以试一试, 若用二维直角坐标建立行星的运动方程是否便于求解. 10.3. 教材中第十章方程(10.2.1)式及其解在适当改变后能否适用于平方反比斥力情况? 10.4. 研究人造地球卫星的运动是采用什么参考系? 三个宇宙速度是相对什么参考系而言的? 10.5. 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为, 比苏联和美国第一次发射的都要大. 为什么说交角越大, 发射的难度越大? 交角大的优点是什么? 10.6. 已知太阳的质量为, 设想太阳在不断收缩, 密度不断增大. 试证当半径缩小为时, 太阳的逃逸速度将等于光速. 此时, 太阳的引力将强到使一切物质都不能从太阳逃逸出来. 这种高密度的恒星被称为黑洞. 10.7. 将粒子换为带负电的粒子,它的散射轨道应是怎样的? 10.8. 试证二体散射问题中相对质心系的散射角等于相对靶粒子参考系的散射角. 10.9. 试从非惯性系中动力学方程出发, 推导出教材中第十章二体相对运动方程(10.5.9)式. 10.10. 在两体问题中, 若表示质点相对质点的位矢, 表示质点相对质点的相对速度, 试证: (1)两体相对质心的角动量为； (2)两体相对质心的动能为$. 第十章习题 10.1. 某天体沿偏心率为的椭圆轨道运动, 如和为质点在近日点和远日点处的速率,试证 10.2. 如题10.2图所示, 质量为的质点在有心斥力场中运动, 式中为质点到力心的距离, 为常数. 当质点离点很远时, 质点的速度为, 而其轨道渐近线与的垂直距离为. 试求质点与点的最近距离. 题10.2图 10.3. 如题10.3图所示,一彗星离太阳的最近距离是地球圆轨道半径的, 而彗星在该点的速度为地球轨道速度的2倍, 试求彗星与地球轨道相交时的速度和交角, 及判断其轨道类型. 题10.3图 10.4. 在距月球中心为5倍月球半径处, 以速度发射一探测器, 欲使探测器与月球表面相切着陆. 试求发射角. 10.5. 氢原子中,带正电的核和带负电的电子之间的吸引力为, 设核固定不动,原来在半径为的圆周上绕核运动的电子, 突然跳入较小的半径的圆轨道上运动, 试求在这过程中原子总能量减少多少. 10.6. 一质量为的质点在有心力场中运动, 已知它的掠面速度为, 某时刻从力心到质点所在处轨道的切线的垂直距离为. 试证此有心力的大小 10.7. 如质点受有心力作用做双钮线运动时, 试证质点所受力为 . 10.8. 质点在有心力作用下运动,此力的大小为质点到力心距离的函数, 而质点的速率则与此距离成反比, 即, 如果(为掠面速度的2倍), 求质点的轨道方程. 设当时,. 10.9. 质量为的质点受到一静止中心的吸引力作用, 其中是质点到引力中心的距离. 初始时,,, , 且初速方向与径向成角, 试求质点的轨道. 10.10. 根据汤川(Yukawa)的核力理论, 中子与质子之间的引力具有如下形式的势能 . 试求: (1)中子与质子间的引力表达式, 并与平方反比力相比较； (2)求在半径为的圆运动中质点的角动量和能量, 设质点的质量为； (3)求圆运动的周期、稳定的条件及径向微振动的周期. 10.11. 1970年4月24日,我国成功地发射了第一颗人造地球卫星, 它的近地点离地面的距离为,远地点离地面为, 试求此卫星在近地点和远地点的速率和, 以及它绕地运行的周期. 10.12. 一质点在有心力场中运动, (1) 试证它的轨道方程可以写成如下形式: , 当时, 轨道是椭圆； 当时, 轨道是一个进动的椭圆. (2) 试求出后一个近日点比前一个近日点进动了多少角度. 10.13. 一质量为的人造地球卫星在离地心距离为的圆轨道上运行, 由于受稀薄气体的粘性阻力的作用(为卫星的速率, 为常数), 卫星与地心距离的变化率为, 是一足够小的正的常数, 使得卫星运行一周损失的能量与总能量相比是小量. 设地球质量为, 试求和的表示式. 10.14. 设质量为的质点受重力作用, 约束在半顶角为的光滑圆锥面上运动. 试研究质点在锥面上做水平圆运动的稳定性. 10.15. 两质点在引力作用下相互绕转, 做周期为的圆运动, 假设在某一时刻运动突然停止, 两质点开始在引力作用下相互靠近, 试证经过时间后发生碰撞. 10.16. 历史上有人对火星的两个卫星是否由火星上的人发射的问题进行了有兴趣的探索, 其中有些科学家算出卫星的质量小, 但体积大, 因而认为内部是空的, 由此认为是人发射的.设火星绕太阳的运动和卫星绕火星的运动都是两体问题.太阳质量已知, 通过哪些量的测量可以计算出卫星的质量? 10.17. 以速率运动的质量为的粒子与另一质量为的静止粒子相碰时, 试证动能中能够转化