积分变换上课课件1.pptVIP

设非周期函数f(t)满足Fourier积分定理的条件. §1.3 Fourier变换的性质 一 线性性质 二 位移性质 三 微分性质 四 积分性质 二 位移性质 三 微分性质 如果f(t)在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|?+?时, f(t)?0, 则 F [f (t)]=jwF [f(t)]. 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设F [f(t)]=F(w), 则 四 积分性质 例3 求微分积分方程 运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及 积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化 为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变 换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅 氏变换还是求解数学物理方程的方法之一。 性质小结: 若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w) §1.4 卷积与卷积定理 一 卷积的概念 二 卷积的性质 三 卷积定理 二 卷积的性质 2. 结合律 [f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)] 4. 数乘 三 卷积定理 例1 若 由卷积的定义有 则 证明：令 交换二重积分的次序, 得 令v=t-u, 则u=t-v, 3.加法分配率 f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) 证: 根据卷积的定义 5. 导数公式 6. 任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t). 证明 因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.另外, 若f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 且 f1(t) ? F1(w) f2(t) ? F2(w)则 f1(t) * f2(t) ? F1(w)?F2(w) 证 按傅氏变换的定义, 有 求f1(t)*f2(t) f1(t) 1 O t t O f2(t-t) 1 t t O 1-e-t 1 例2 求 的傅氏变换. 例3 证明积分公式 证明： de(t) 1/e e O （在极限与积分可交换意义下） 工程上将d-函数称为单位脉冲函数。 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度. t O d (t) 1 d-函数性质： 可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。 d-函数的傅氏变换为: 于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对. 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F(w) 构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 例 4 证明： 证： 由上面两个函数的变换可得 例6 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。 t p p -w0 w0 O w |F(w)| ? 三 非周期函数的频谱 Fourier变换和频谱概念有非常密切的联系.随着无线 电技术、声学、振动学的蓬勃发展，频谱理论也相 应得到了发展，其应用也越来越广泛.下面简单介绍 一下频谱的概念，关于更深一层的理论和应用留待 有关专业课程中详细讨论. 频谱函数：傅氏变换F(w)称为f(t)的频谱函数. 频谱：频谱函数的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱，简 称为频谱. 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个 时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 例7 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图 f(t) 单个矩形脉冲的频谱 函数为: t E -t/2 t/2 E 矩形脉冲的频谱图为 Et |F(w)| O 振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数, 即 我们定义 为f(t)的相角频谱. 显然, 相角频谱j(w)是w的奇函数, 即j(w)=-j(-w). 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述