蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗课件方案策划.pptVIP

* * 蒙特卡罗方法及应用 2014.8 0.1 课程安排 0.1.1 主要基础课程 高等数学、概率论与数理统计、核物理、核辐射测量原理 0.1.2 采用教材 蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用 0.1.3 主要参考书 蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用 0.1.4 学时安排 课堂教学26学时，实验12学时 0.1.5 考核方式（100分） 作业（10%） 独立、认真、按时完成每次作业。 考试（50%）严格按照制度进行 考勤 (10%） 抽查、事前请批假 实验（30%）签到、实验报告 0.1.6 辅导和作业 每周集中辅导一次 可以到实验室（地学楼A307）答疑 在教学过程中，穿插习题课 课前早到，个别交流提问 0.1.7 怎样学习？ 专心、努力。做任何事情，只要肯专心、努力的去做，总会有收获。 花必要的时间。上课、作业、实验与答疑，课后复习。 掌握课程思路，抓住要点。 举一反三，灵活应用。综合训练，拓展思维。 蒙特卡罗方法的基本思想 蒙特卡罗方法首先在核武试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。 两个例子 例1. 求圆周率 例2. 求定积分 基本思想 计算机模拟试验过程 例1. 求圆周率 正方形内 均匀投掷点数N 落入1/4圆周内点数k 如果采用正方形的内切园，是否可以？ 计算公式如何？ 基本思想：把随机事件（变量）的概率特征与数学分析的解联系起来. 用试验方法确定 例1 用M-C 模拟求圆周率π的估计值. 1 1 0 设二维随机变量 (X, Y)在正方形内 服从均匀分布. (X, Y)落在圆内的概率为: 计算机上做n 次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi) ，i＝1 ,2, …, n . xi 和yi 是随机数对. 检查每对随机数是否满足: 相当于第i个随机点落在1/4圆内. 若有k 个点落在l／4圆内 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n 根据大数定律, 事件发生的频率依概率收敛于事件 发生的概率p，即有 得圆周率π的估计值为 且当试验次数足够大时, 其精度也随之提高. 分析：实际上概率值为 恰为1/4圆的面积 频率法： 利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分. 平均值法： 利用随机变量的平均值(数学期望) 来计算定积分. 例2. 求定积分 求解方法： 求解析式获得准确数值解、 积分的数值方法求近似数值解， 蒙特卡罗近似求解 蒙特卡罗方法基本思想： 将求面积转化为——求落在函数下方的点数与长度为(b-a)的正方形内的点数之比，类似求圆周率方法。 基本思想 由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。 因此，通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分。即，将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望 通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值 作为积分的估计值（近似值）。 为了得到具有一定精度的近似解，所需试验的次数应该很多，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。 因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。自1940年代以来，由于计算机的出现，可以通过计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代科学技术中发挥应有的作用。 蒙特卡罗方法的收敛性，误差 蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误差是普遍关心的一个重要问题。 收敛性 误差 收敛性 由前述可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，XN的算术平均值： 作为所