大学概率论2-3.ppt

例1 设随机变量X的密度函数为 例2 设连续型r.v.X的分布函数为 例3 设顾客在某银行窗口等待服务的时间服从参数为1/5的指数分布。某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。已知他一个月去银行5次，求他至少有二次未等到服务的概率。 练习 某机器生产的螺栓的长度服从参数为μ=10.05,σ=0.06的正态分布。规定长度的范围10.05±0.12为合格品，求螺栓为不合格品的概率。 例1 （1）假设某地区成年男性的身高（单 位：cm）X～N(170,7.692)，求该地区成年 男性的身高超过175cm的概率。 解: (1) 因X～N(170,7.692)，则 事件{X175}的概率为 P {X175} =0.2578 解: (2) 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01 或 P(X h)≥ 0.99， （2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定? 因为X～N(170,7.692), 故 P(X h)= 0.99 查表得 (2.33)=0.99010.99 所以 即 h=170+17.92 188 设计车门高度为 188厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01. 现求满足P(X h )≥ 0.99 的最小的h . §2.3 连续型随机变量 对于r.v. X及其分布函数F(x) ,如果存在非负可积函数f(x) , 使得对x∈R都有 则称 X为连续型r.v., f(x)为 X 的概率密度函 数，简称为(概率)密度. 一、连续型r.v.及其概率密度函数的定义 1. 概率密度的性质 1 o 2 o 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度的充要条件. f (x) x o 面积为1 3. 对于任意实数x，有P(X=x)=0 可见对连续型随机变量用列举法描述它的分布情况不但做不到，而且毫无意义。 注： 1) 对连续型 r.v X,有 2）由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B= 3. F(x)是连续函数，且对 f(x)的连续点x ，有 =f(x) 4. 在连续型r.v理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 密度的数值反映了r.v.X取x临近值的概率大小。 求（1）常数；（2）X的分布函数； （3）X落在区间（0,π/4)中的概率. 求（1）常数A；（2）X的密度函数； （3）X落在区间（0.1, 0.7)中的概率. 练习: 设r.v X 的密度函数为 求（1）常数a； （2）X的分布函数； （3）X落在区间（0.5，4)中的概率. 练习: 设r.v X 的密度函数为 求（1）常数A； （2）X的分布函数； （3）X落在区间（0，1)中的概率. (三)常见的连续型随机变量 均匀分布、指数分布、正态分布 若 r.v. X的概率密度为： 则称X服从区间[ a, b]上的均匀分布，记作： X ～ U[a, b] 一、均匀分布(Uniform) 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中舍入误差，如对小数点后第一位进行四舍五 入时，一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。还有候车时间等。 若X ～ U[a, b]，则对于满足 的c,d, 总有 则称 X 服从参数为 的指数分布. 指数分布常用作各种“寿命”的近似分布，如可靠性研究中元件的寿命，动物的寿命，排队等候的服务时间. 二、指数分布：若 r.v X具有概率密度 记为 X~E( ) . 它的分布函数为 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面. 三、正态分布 (I)、正态分布的定义 若r.v. X 的概率密度为 记作 其中 常数μ任意，σ 0，则称X服从参数为μ和σ 的正态分布. (Normal) (II)、正态分布 的图形特点 （1） 正态分布的密度曲线是一条关于μ 对称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”. 决定了图形的中心位置， 决定 了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 （2） （3）f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值: 当x→ ?∞时，f(x)