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柯西积分公式及推论 复变函数课件技术方案.ppt
* 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 学习要点 掌握高阶导数公式 掌握柯西积分公式 第三章 复变函数的积分 §3.4 柯西积分公式及其推论 一、柯西积分公式 1. 问题的提出 1) 被积函数在C上连续，积分I必然存在； 因此，I的值只与f(z)在z0点附近的值有关。 根据闭路变形原理知, 得 现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。 2. 柯西积分公式 定理3.9 (柯西积分公式) C是D的正向边界，我们称它为柯西积分公式。 [证毕] 2、公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. 1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解 (这是解析函数的又一特征) (这是研究解析函数的有力工具) 柯西公式是解析函数的最基本的性质之一， 对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 3. 解析函数的平均值定理 即解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 证明 则 由柯西积分公式 例1 求下列积分 例2 例1 求下列积分 解 由柯西积分公式 解 例2 由闭路复合定理, 得 定理3.10 二、高阶导数公式 根据导数的定义,要证明 从柯西积分公式得 证 再利用以上方法求极限 [证毕] 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证 例3 例4 解 例3 根据复合闭路定理 解 由柯西－古萨基本定理得 由柯西积分公式得 例4 * * * * * 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。
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