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§1．9 有心力 * 1．点的运动方程为 其中， ， 以 计，求 时质点的切向加速度、法向加速度及轨道的曲率半径 2．某点的运动方程为 ， ，求其速度与加速度。式中 ， 为常数。 3 ．一直杆以角速度 绕其固定端 转动，且 值与时间 成正比，比例常数为 ，沿此杆有一滑块以恒定速度 滑动。设在运动开始时，杆在水平位置。求滑块的运动方程与轨迹方程（以极坐标 ， 表示，假定 时， ） 4．如图，在半径为R的铁环上，套一小环M，杆AB穿过小环M，并以匀速 绕A点转动，开始时杆AB位于水平位置。试求小球M的运动方程、速度和加速度。 5．如图曲柄连杆机构，OA=AB= ，AB杆上的M点位于 MB= 处， 。试求（1）M点的轨迹方程；（2）M点的速度方程；（3） M点的加速度方程。 6．雷达在距火箭发射台为 的O处，观察铅直上升的火箭发射，测得 角的规律为 ， 为常数，写出火箭 的运动方程并计算当 和 时，火箭的速度和加速度。 7 ．一直杆以匀角速度 绕其固定端 转动，沿此杆有一滑块以与距离 成正比的速度滑动，比例常数为 。设在运动开始时，杆在水平位置。求滑块的运动方程与轨迹方程 （以极坐标 ， 表示，假定 时， ） 8 ．杆AB长 ，以等角速度 绕点B转动，其转动方程为 ，与杆连接的滑块B按规律 沿水平线作谐振动， 和 均为常数，求 点的运动方程与轨迹方程。 （1）有心力的基本性质 有心力：一般来讲，若运动质点所受力的作用线始终通 过某一个定点，我们就说该质点所受的力是有 心力（例如，行星绕恒星运动，行星所受的力； 质子轰击原子核，质子所受的力），而这个定 点叫做力心。 有心力一般为矢径 的函数 标量式： 矢量式： 式中， ：质点对于力心的位矢， 质点的运动微分方程（极坐标系）为 其中，上式第二式可写为 ∴ 即 恒量 可设 ，则 其中， 横向动量矩的大小，也是质点总的动量矩的大小 从另一角度看， ， ∴ ∴ 有心力问题的基本方程为 对上式求解，可得有心力作用下质点的运动方程 再有，可证有心力为保守力， ∴ ∴ 且有机械能守恒 常数，即 可用来代替有心力问题的基本方程 第一式 （2）轨道微分方程—比耐公式 利用 令 ，代入 ，得 ( ) ∴ 将 ， 的表达式代入 中，得 :比耐公式（微分方程）,对它求解，可得轨道方程 或 。 （3）平方反比引力—行星的运动 行星和太阳之间的万有引力为 ( ) ——万有引力常数， ——太阳的质量， ——行星的质量 令 :太阳的高斯常数（只与太阳的质量有关， 与行星无关） 则 ．利用比耐公式，求行星的运动轨迹 由比耐公式 ，以及 得 ，即 令 ， ，则 代入上式，得 ：简谐振动微分方程的形式 微分方程的通解可表示为 ∴ 又 ∴ 通过调整极坐标系极轴的位置，可使 ，则上式可简化为 而极坐标系下标准圆锥曲线方程为 ，由 此可知，行星轨道为原点在焦点（力心）上的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线），且 ：半正焦弦 ：偏心率 例如： a）椭圆轨道 对于端点B（近日点），有 偏心率 1 ∴ 半正焦弦 b）抛物线轨道 对于端点B（近日点），有 偏心率 = 1 ∴ 半正焦弦 ,FB = q ∴ c）双曲线轨道 对于端点B（近日点），有 偏心率 ＞1 ∴ 半正焦弦 习题1.44）质点所受的有心力如果为 式中， 及 都是常数，并且 ，则其轨道方程可写为 试证明之。 式中 ， ， ， （ 为积分常数） 解： 由比耐公式 可知 经整理后得： ∴可令 ∴ 的通解为 ∴ 设 的通解为 ，可解得 （ 为积分常数） 再设 的一个特解为 ，代入 微分方程中去，可得 通过调整极坐标系中极轴的位置，可使 ，