计算数学夏令营数学竞赛试题共六道题每题二十五分1.docVIP

2009年计算数学夏令营 数学竞赛试题 (共六道题，每题二十五分） (25分) 一个平面凸集与双曲线的两支和双曲线的两支都相交，求出这个凸集的最小可能面积。 2.（25分）设有连续导数，并且. 证明，对于每个有 . 3．（25分）计算三重积分，其中是椭球体。 4.（25分）已知维向量每个分量均为正数。试求以下维方阵的特征值和特征向 量：, 其中 5．（25分）目标向量未知，但知它最多有个非零元素个数()。现有观测矩阵, 其中,并且其任意列均线性无关。你认为一定能从观测向量反推出所需的目标向量吗？为什么？ 6．（25分） 已知为阶矩阵，的秩，为阶矩阵，证明. 2009年计算数学夏令营数学竞赛点评 本竞赛题有多种解法，大多数同学根据对称性得到了正确的答案，但49位同学中只有10位同学有完整的证明，从而得到满分。有效的途径在将凸集的形状归约为四边形后考虑将四边形的面积通过（1）以某条对角线为底的两个三角形；（2）四个小三角形 的面积计算而得到计算公式，并求出最优解。少量的同学用反证的方法也可以得到正确解。以下给出的巧妙解法利用了保积变换不影响平面图形的面积，即将横轴拉长a倍，而将纵轴缩短a倍不改变图形的面积。这一点也可从最优解不只是连接（1，1），（1，-1），（-1，-1），（-1，1）四点的正四边形，还包括所有连接（a,1/a）, (a,-1/a) ,(-a,-1/a),(-a,1/a)的长方形（此处a为任意整数，这是所有面积均为4）看出。 一种解法： 所论凸集必定包含其顶点位于所述两条双曲线的4个分支上的一个四边形Q，因而只需最小化四边形Q的面积即可。Q的一条对角线是连接双曲线xy=1的两个分支的一条线段D。对于任何的正数a，我们的问题有一个保积变换。作为一个简化，我们可以选取a,使得在变换后线段 D 有斜率1。因而它的长度至少是.并且，D 把Q分成两个三角形，这两个三角形的总高度至少是。因而Q的全面积至少是4。取Q为具有水平边和铅垂边的矩形，这个下界可以被达到。 这道题共有8位分别从三种不同的角度得到完整的证明。一位同学给出了如下简洁标准的证明。另外两种证明思路是在定义函数 以后，再分别（1）利用该函数在0和1点展开，然后消去一阶导数项；（2）分析在[0，1]之间必有某点使f(x)值为零，再分两种情况考虑F函数随其自变量的变化。 特别易犯的错误是简简单单将f(x)在某点展开为f(x)=f(0)+A*x,然后两端再积分时视A为常数。实际上A为（0，x） 一种证法：我们来证明 其中由于, 即得结论。 中值定理蕴含着，对于所有的x,y 有，因而对于所有, 有。所以 作为一个变量代换即得最后的量等于这样，正如所断言的，得到。 三、 基本题。利用极坐标进行转换，也可化为二重积分， 得到答案是，注意此题与求椭球体积的区别。共有29人得到正确答案。 四、此题方法较多，可以将矩阵分解为两个秩一向量的外积；可以观测所有行都两两线性相关，从而只有一个非零特征值，且等与它的迹；可以观测A的乘积与A的关系而得到A的特征多项式等。当然也可根据特征值的基本定义来求，只是较繁琐。共有32位同学得到满分。 有个别同学也注意到了此题是层次分析方法中如何对影响因素进行赋权的基本原理. 一般来说，同时对n个因素直接赋权比较困难，而通过两两比较得到一个比较矩阵，再计算该矩阵的非零特征值对应的特征向量，便可得到所需的权向量。 五、此题与压缩传感或稀疏存储有关，它看似复杂，但如果能够洞察问题的本质便可容易地通过反证的方法证明目标向量x的唯一性。当然，如何最为有效地解出目标向量x是目前国际上研究的热点。 共有7位同学得到满分。 六、基本题，共有32位同学得到满分。较为简单的方法是考虑方程组ABx=0与Bx=0的等价性。将A按行分为两块也不失为一种简洁的办法。 总体来说，大多数同学考得很不错。希望此次考试，能使同学们更加认识到数学的魅力和用处，并利用数学去分析问题的本质, 同时使同学们对计算数学夏令营留下更加美好的回忆。 2009年7月17日星期五 点评者：戴彧虹