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《统计学》案例——抽样推断分析 案例一 机票预售数量的统计研究 1.问题的提出 联合航空公司新开辟甲城——乙城之间的航线，选用75座位小飞机，每周一、三、五通航。通航2个月后发现，座位订满飞机起飞时，经常出现顾客因故未能登机现象，公司考虑多售机票以提高上座率，不知是否可行。于是想了解如下3个问题： 预订78张机票，出现75人以上登机的概率。 每张机票价格200元，当出现75人以上登机时，对未能登机者按票价加倍补偿，应否多预售机票？ 预售机票多少张时,平均收益最大？ 2.数据的收集 前20个航班缺席人数统计如下表所示。 缺席人数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 合计 航班数（架） 1 4 0 4 2 5 1 1 0 2 20 3、方法的确定 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。根据所收集的信息，了解数据的概率分布特征，用泊松分布进行近似分析。 平均缺席人数的频率 航班缺席人数的算术平均数=6 平均每个人缺席的频率p=6/75=0.08 （2）预订78张机票，出现75人以上登机的概率 即缺席2、1、0人的概率P(x=2,1,0)=P(x≤2)=0.054 (上式为n=78，p=0.08，μ=np=6.24的泊松分布近似计算。) 4.结果分析 （1）多预售机票的可行性分析 多预售机票，当出现75人以上登机时，对未能登机者按票价加倍补偿，会产生机会成本；但若登机人数少于75人，可以避免机会损失。所以预售多少机票，应从机会成本和机会损失两方面考虑。在一定范围内多预售机票可以减少成本，因此应考虑多预售机票。 计算最佳预售机票数量 总成本Z=机会成本C+机会损失S 当预订机票数一定时，总成本Z=∑P(x)(C+S) 其中，x=0,1,2,3,…表示缺席的人数 P(x)表示缺席x人的概率，P(x)=P(X≤x)-P(X≤x-1)可以通过泊松分布查表得出。 将预售机票成本数据表示如图5.4。不难看出，N=75时，总成本最高，随着的增大，总成本逐渐降低，当N=81时，总成本最小，随着的继续增大，总成本开始逐渐上升。 案例二 公司总经理的平均年收入是否有效 1、问题的提出 公司总经理的报酬是多少？为了回答这个问题，《商业周刊》（美）每年都要对公司经理作一次调查。1994年这家杂志调查了360家公司的经理，下表是其中20家大公司总经理1993年的总收入（薪金、各种费用、红利等等）。假定这些数据代表了美国高收入公司经理的一个样本。 表.美国20家大公司总经理的年收入表 公司总经理（公司） 1993年总收入（千美元） 迈克尔·埃斯纳（沃尔特·迪斯尼） 桑福德·威尔（旅行者） 约瑟夫·海德（奥托佐思） 查尔斯·马修森（国际对策技术） 阿兰·格林伯格（斯蒂恩斯啤酒） 休曾格（布洛克布斯特） 诺尔曼·布林克（国际布林克） 罗伯托·高佐塔（可口可乐） 罗伯特基德（金霸王电池） 10、托马斯·哈恩（太平洋乔治亚） 11、亚特沃特（通用机械） 12、詹姆斯·摩根（应用材料） 13、里查得·詹里特（公平公司） 14、哈里·默罗（太平洋路易斯安那） 15、约翰·布赖恩（萨拉李） 16、戴维·魏特曼（惠尔普尔） 17、查尔斯·桑福德（信孚银行） 18、弗朗克·卡霍特（梅隆银行） 19、沃尔特·桑德斯（高级微型机械） 20、斯坦利·高尔特（固特异） 203001 52810 32220 22230 15915 15557 14925 14513 14172 13680 13177 12833 12380 12051 11889 11837 11811 11516 11488 11278 根据以上数据，我们要讨论下列几个问题： 计算和s。 计算这些高收入公司总经理1993年平均收入的95%置信区间。 为使上述置信区间方法有效，须要什么假定？ 这个置信区间是否可能右偏？为什么？ 2、案例计算与分析 （1）=25964.7，s=42807.8 （2）由于n=20，所以若薪金近似服从正态分布，则（），即这些高收入公司总经理1993年平均收入的95%置信区间为（25964.7-20034.4，25964.7+20034.4）千美元。 （3）由上述分析可知，该置信区间有效的条件就是这些高收入公司总经理薪金近似服从正态分布。 （4）因为这20位总经理样本并非随机抽取，所以这个高收入置信区间，有可能右偏。