高等数学考研知识点总结8.docVIP

第八讲 多元函数微分学 一、考试要求 1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。 7. 了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。 8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、 内容提要 1、 多元函数的概念：z=f(x,y), (x,y)(D 2、 二元函数的极限定义、连续 3、 偏导数的定义、高阶偏导、全微分 z=f(x,y) = , = 若 则 4、偏导连续可微 可导(偏导) 连续 极限存在 5、 复合函数求导法则 （1）多元与一元复合：设在t可微， 在与t对应的点可微，则在t处可微，且 （2）多元与多元复合：设在点存在偏导数，在与对应的点可微，则在点存在偏导数，且 ， 6、 隐函数求导法则 要求掌握三种情形： 1）F(x,y,z)=0, 2） 3） ( 7、 二元函数的二阶泰勒公式 设z=f(x,y)在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，为此邻域内一点，则有 + 8、多元函数的极值 1) 定义 2) 可能极值点 3) 取极值的必要条件 4) 取极值的充分条件 设 , , 若, 则为z=f(x,y)的一个极值点 9、条件极值 构造拉格朗日函数： 由 解得可能极值点，再由实际问题判断极值。 10、最值：区域内部或边界上达到 三、典型题型与例题 题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系） 例1、 设，求 例2考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质： ① 在点处连续， ② 在点处的两个偏导数连续， ③ 在点处可微， ④ 在点处的两个偏导数存在. 若用“”表示可由性质P推出性质Q, 则有 （A） ②③①. （B） ③②①. （C） ③④①. （D） ③①④. 例3、 设 在（0，0）点，函数是否连续？是否偏导数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？ 求 题型二、求多元函数的偏导数和全微分 本题型包括如下几个方面的问题 初等函数的偏导数和全微分 求抽象函数的复合函数的偏导数 由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分 含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分 由方程组所确定的隐函数的偏导数 方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。 例4、 设，求 例5、设，求 *例6、已知函数z=z(x,y)满足 设 对函数 求证. 例7、 设，有二阶连续偏导数，求 例8、 设有连续偏导数，和分别由方程和确定，试求 例9设函数z = z (x, y) 由方程确定, 其中F为可微函数, 且f(2(0, 则 ___________ . (A) x. (B) z . (C) ( x. (D) ( z .　 例10 设，函数由方程 确定，其中可微，连续，求 例11、 设求 题型三：变量替换下表达式的变形 *例12、设具有二阶连续偏导数，而 ， 证明 题型四 反问题 解题思路：由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论， 求出待定的函数、参数等。 例13、 已知为某一函数的全微分，求 例14、 设满足，求 例15、设函数 满足 , 试求函数f的表达式. 题型五、 多元函数的应用 1、极值的求法 步骤：1) 解方程组，，得所有驻点； 2) 对每一个驻点，求， ，的值； 3）由的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。 2、最值的求法 闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部的所