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第七节 定义1. 设 例1. 计算广义积分 例3. 证明p 积分 二、无界函数的广义积分 定义2. 设 例4. 计算广义积分 例6. 证明广义积分  *科学出版社 目录 上页 下页 返回 二、无界函数的广义积分 一、无限区间上的广义积分 广义积分 第五章 定积分 需要推广定积分的观念. 被积函数有界 有时不得不考察无限区间上的积分或无界函数的积分， 广义积分 积分区间有限 无穷区间的广义积分 无界函数的广义积分 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无限区间上的广义积分,记为 这时称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散 . 一、无限区间的广义积分 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 . 类似地 , 若 则定义 解: 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 解: 例2. 计算广义积分 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 则定义 则称此极限为函 记作 而在点 c 的 无界点常称为瑕点(奇点) . 邻域内无界 , 则定义 的端点. 即，当积分区间内有被积函数的无穷间断点时， 用无穷间断点将原积分区间分割成若干个小区间， 应该 对每个小区间进行广义积分. 然后 无穷间断点应为积分区 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 例5. 讨论广义积分 的收敛性 . 解: 所以广义积分 发散 . 证: 当 q = 1 时, 当 q 1 时收敛 ; q≥1 时发散 . 当 q≠1 时 所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . 1. 两类广义积分都是定积分的极限； 3. 下面两个广义积分非常重要，必须记住. 说明： 2. 无界函数的广义积分与定积分在形式上完全一致， 若把这类广义积分当定积分计算，可能得出错误结论. 例如 , 5. 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分. 4. 有时通过换元 , 广义积分和定积分可以互相转化 . *科学出版社 目录 上页 下页 返回 * * * *