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按Esc键退出 返回目录 8.5　直线、平面垂直的判定及其性质 按Esc键退出 返回目录 3.正方体ABCD-ABCD中,E为AC的中点,则直线AD垂直于(　????). A.面DD C C????B.面A DB 　? ???C.面A DB　????D.面A B C D 答案：B 按Esc键退出 返回目录 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,E为BB1的中点,∠A1DE=90°,求证:CD⊥平面A1ABB1. 证明:连接A1E,EC, ∵AC=BC=2,∠ACB=90°, ∴AB=2?. 设AD=x,则BD=2?-x, ∴A1D2=4+x2,DE2=1+(2?-x)2, A1E2=(2?)2+1. 按Esc键退出 返回目录 ∵∠A1DE=90°, ∴A1D2+DE2=A1E2.∴x=?. ∴D为AB的中点. ∴CD⊥AB. 又AA1⊥CD,且AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面A1ABB1. 按Esc键退出 返回目录 【例1-1】 如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE. 一、直线与平面垂直的判定与性质 按Esc键退出 返回目录 证明:(1)∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥CD. 又AC⊥CD,∴CD⊥平面PAC. 而AE?平面PAC,∴CD⊥AE. (2)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB. 又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD. 而PD?平面PAD,∴AB⊥PD.?① 又由∠ABC=60°,PA=AB=BC,得PA=AC. 按Esc键退出 返回目录 ∵E是PC的中点,∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD. ∴AE⊥PD.?② 由①②,得PD⊥平面ABE. 按Esc键退出 返回目录 【例1-2】 Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 按Esc键退出 返回目录 ? ∵SA=SB,∴△SAB为等腰三角形. ∴SE⊥AB. 又∵DE⊥AB,SE∩DE=E, 证明:(1)取AB的中点E,连结SE,DE, 在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点, 故DE∥BC,且DE⊥AB. 按Esc键退出 返回目录 ∴AB⊥平面SDE. 而SD?平面SDE, ∴AB⊥SD. 在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点, ∴SD⊥AC. 又∵SD⊥AB,AC∩AB=A, ∴SD⊥平面ABC. 按Esc键退出 返回目录 ∴SD⊥BD. 又∵BD⊥AC,SD∩AC=D, ∴BD⊥平面SAC. (2)若AB=BC,则BD⊥AC, 由(1)可知,SD⊥平面ABC,而BD?平面ABC, （2）若 ，求证：MN 面PCD 例3 如图，已知 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证： （1） P A B C D M N E (2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ PD. (1)证明：PQ⊥平面DCQ; (1)证明:由条件知四边形PDAQ为直角梯形． 因为QA⊥平面ABCD，QA?平面PDAQ， 所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD, 所以QA⊥DC， 又四边形ABCD为正方形, DC⊥AD， 所以DC⊥平面PDAQ, 可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中, 可得DQ＝PQ＝ PD, 则PQ⊥QD. 又DQ∩DC＝D， 所以PQ⊥平面DCQ. 三、解答题 三、解答题 【5】如图, AB为平面α的一条斜线, B为斜足,AO⊥平面α, 垂足为O, 直线BC在平面α内,已知∠ABC=60°,∠OBC=45°, 则斜线AB和平面α所成的角是_______. A C O D B α 45° 设OB=2, 按Esc键退出 返回目录 二、平面与平面垂直的判定与性质 【例2】 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,且AD=PD=2MA. (1)求证:平面EFG⊥平面PDC; (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比. 按Esc键退出 返回目录 (1)证明:由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA, 得PD⊥平面ABCD. 又BC?平面ABCD,所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形, 所以BC⊥DC. 又PD∩DC=D,因此BC⊥平面PDC. 在△PBC中,因为G,F分别为PB