杨辉三角和二项式系数性质(一).pptVIP

进一步思考: （2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证： 证明：在展开式 中 令a=1，b=－1得 小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。 还有没有其他思考方法呢？ 赋值法 例2 已知 求:(1) ； (2) ； (3) ; (4) 小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解 思考1求证: 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得： 再由 得 思考2求证： 证明：∵ 倒序相加法 知识对接测查3 2.求证： 证明：∵ 倒序相加法 类型：求展开式中系数最大的项 方法:利用通项公式建立不等式组 例1答案 * 例2 例1 * 例3 例3答案 例1答案 * * * * * * * * 1.3.2杨辉三角 与二项式系数 的性质(一) 复习提问 1.二项式定理的内容 (a+b)n= Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn 0 1 k n 右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 2.二项式系数: 3.二项展开式的通项Tk+1= 针对(a+b)n的 标准形式而言 (b+a)n，(a-b)n的通项则分别为: 4.在定理中，令a=1，b=x，则 观察猜想 展开式的二项式系数 有什么变化规律？二项式系数最大的是哪 一项？ (a+b)n= Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-rbr+…+Cnbn 0 1 r n 为了研究它的一般规律，我们先来观察 n为特殊值时，二项展开式中二项式系 数有什么特点？ 你知道这是什么图表吗？ (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 新课引入 《详解九章算法》记载的表 杨辉 三角 杨辉 以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 观察：从图中你能得出哪些性质？ 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 思考：会证明这些性质吗？ a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等 于它肩上两个数的和。 4+6=10 2+1=3 例如： c r n c r-1 n + c r n+1 = 当n不大时，可用该表来求二项式系数。 C 2 3 C 2 2 C 1 2 + = = 3 C 2 5 C 2 4 C 1 4 + = = 10 因为： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 2 1 3 4 6 10 总结提炼1: 第1行——— 第2行—— 第6行- 第5行-- 第4行— 第3行—- 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 对称 总结提炼2: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大 当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 (a+b)6 (a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn … … 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 知识探究3: 增减性的实质是比较 的大小. 所以 相对于 的增减情况由 决定． 可知，当 时， 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 还有没有其他解释呢？ 最大项与增减性 可以看成以r为自变量的函数f（r），其定义域是｛0,1,···,n｝。 函数