七年级数学 2 倍数 约数培优和竞赛二合一讲炼教程 人教新课标版.doc

（2）倍数 约数 【知识精读】 1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7在有余数的除法中， 　被除数＝除数×商数＋余数　　若用字母表示可记作： 　A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2　　则23－2能被3整除。 【分类解析】 例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32　。 　解：列表如下 正整数 正约数 个 数 计 正整数 正约数 个数计 正 整 数 正约数 个数计 2 1，2 2 3 1，3 2 2×3 1，2， 3，6 4 22 1，2，4 3 32 1，3，32 3 22×3 1，2，3， 4，6，12 6 23 1，2， 4，8 4 33 1，3， 32，33 4 22×32 1，2，3， 4，6，9， 12，18，36 9 24 1，2，4， 8，16 5 34 1，3，32， 33，34 5 其规律是：设A＝ambn　(a，b是质数,m，n是正整数) 　　　　那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如求360的正约数的个数 解：分解质因数：360＝23×32×5， 　360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个） 例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5 ∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6 　最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 　∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数　 分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。 解：　∵[10,9,8]=360,　 　　∴所以所求的数是359 【实战模拟】 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________ 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____ 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？ 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？ 答案 1.　1，2，3，4，6，12；　　　±1，±2，±3，±6，±9，±18 2.　22×3×52；　18　　　3.　2×5；　22×53 4.　693　　　　　　　　　5.　［3，5，11］＝165，1155；990　 6.　A＝3　　即求14－2与23－2的公约数 7.　30，60，90 8.?????? （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15　 9.?????? 119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119 用心 爱心 专心