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积分思想及其应用 摘要：积分思想与数学的实践应用有重要关系,对于解决实践问题有着重要作用.本文主要介绍定积分、二重积分、三重积分的一些思想及其应用. 关键词：定积分;二重积分;三重积分;应用 Integral Thoughts And Its Application Abstract：Integral thoughts are related to practical application of mathematics, playing an important role in solving problem about practice. This paper mainly introduces the definite integral dowble, some ideas and triple integrals and its applications. Keyward：definite integral;double integral;triple integral;application 前言：定积分的核心思想是：先把整体量分割成许多部分量,并认为每一个部分量是均匀分布的,然后把它们相加并让每一部分变成无穷小量,进而求和取极限.二重积分、三重积分甚至重积分的思想也是这一种“和式极限”的思想.但是它们在被积函数和积分范围上有极大区别.定积分的被积函数为一元函数,积分范围是一个区间；二重积分的被积函数为二元函数,积分范围是平面的一个区域；三重积分的被积函数为三元函数,积分范围是空间的一个区域；重积分定的被积函数为元函数,积分范围是维空间一个区域.积分思想在实践应用中有着重要的意义. 定积分 1.1定积分的定义 设是定义在区间上的一个函数,是一个确定的数,若对任给的正数使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要就有 , 则和函数在区间上可积.称为在上的定积分.记作, . 1.2定积分的计算简介 牛顿—莱布尼茨公式：若在上连续,且存在原函数,即,,则在上可积,且 定积分换元积分法：若在上连续,在上连续可微,且满足 ,,, 则有定积分换元公式： . 定积分分部积分法：若,为上的连续可微函数,则有定积分分部积分公式： . 1.3定积分的应用 定积分的应用十分广泛,最典型的应用为计算平面图形的面积.例如在一般情况下由上下两条曲线与以及两条直线与()所维的平面图形,它的面积计算公式为： . 例.求由抛物线与直线所维平面图形的面积. 解：求出抛物线与直线的交点与,用把图形分为左、右两部分,应用上述公式分别求出它们的面积为 , , 所以. 本题也可以把抛物线方程和直线方程改写成 ,, 并取积分变量为,便得 由此可见计算沿直线段分布的不规则几何量和物理量计算可采用定积分思想. 二重积分 2.1二重积分的定义 设是定义在可求面积的的有界闭区域上的函数,是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使得对于的任何分割,当它的细度时属于的所有积分和都有 在上可积,数称为函数在上的二重积分,记作 2.2二重积分的计算简介 化累次积分计算：若在区域上连续,其中,在上连续, , 则 即二重积分可化为先对后对的累次积分.又若在区域上连续,其中与在上连续, , 则 . 极坐标计算二重积分：当积分区域是圆域的一部分或被积函数的形式为是可用极坐标变换计算, 变换的行列式为 ； 所以 . 2.3二重积分的应用 二重积分的应用典型应用为求空间立体的体积. 例1.是由和所围的立体,求其体积. 解：立体在平面上投影区域为 令则 所以 例2.求椭球体 的体积. 解：由对称性知,椭球体的体积是第一挂限部分体积的8倍,这一部分是以 为曲顶, 为低的曲顶柱体,所以 应用广义坐标变换,由于,因此 当时,得球的体积为. 沿二维平面分布的不规则几何量和不均匀物理量的计算应考虑用二重积分思想去解决. 三重积分 3.1三重积分的定义 设为定义在三维空间可求体积的有界区域上的函数,为一个确定的数,若对任给的正数,总存在某一正数,使得对于的任何分割,只要,属于分割的所有积分和都有 ； 则称在上可积,数称为函数在上的三重积分,记作 . 3.2三重积分的计算简介 化三重积分为累次积分：设积分区域由集合 所确定.在上连续,,在上连续,,在上连续,则有 柱面坐标变换： 变换 的函数行列式为 所以柱面坐标变换公式为 . 球坐标变换： 变换 的函数行列式为 所以三重积分的球坐标变换公式为： . 3.3三重积分的应用 三重积分的应用最典型的体现在求密度分布不均匀的空间立体的质量问题上. 例1.设球体上各点的密度等于该点到坐标