2011不等式选讲20110626.pptVIP

* 选修4-5 《不等式选讲》 复习课 1.绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用,特别要注意等号成立的条件. |a+b|=|a|+|b| ; |a-b |=| a|+|b| . ab≥0 ab≤0 |ax+b|≤c ; |ax+b|≥c ; 解|x-c|+|x-b|≥a采用方法 . 零点划分法 -c≤ax+b≤c ax+b≤-c 或ax+b≥c 3.证明不等式的常用方法 (1)比较法:分作差比较法和作商比较法两种.一般对于多项式类和分式类的用作差比较法,对于含有幂指数类的用作商比较法. (2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导所要证明的不等式.其过程是“由因导果”.常用到以下不等:a2≥0,(a±b)2≥0,a2+b2≥2ab(a,b∈R), (a,b∈R+). (3)分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题.这是一种“执果索因”的方法. (4)放缩法:依据不等式的传递性,具有一定的技巧性.常用的放缩法有:加项或减项、利用比例的性质、利用均值不等式、利用函数单调性，一定要把握好“度”，使其恰到好处. (5)换元法:注意新元的取值范围,保证等价性. (6)含有“至多”“至少”“唯一”“不大于”“不小于”等词语的，考虑用反证法. 考点一 |ax+b|c(c)型不等式的解法 解不等式: (1) |2x-5|≤8; (2) |2-3x|7. 【分析】利用绝对值的意义,将绝对符号去掉. 考点二 |x-a|+|x-b|c(c)型不等式的解法 解不等式:|x-1|+|x+2|5. 【解析】解法一:用“零点划分法”将实数分类： 令x-1=0得x=1;令x+2=0得x=-2. (1)当x-2时,原不等式化为:-x+1-x-25,即x-3. ∴-3x-2. 设不等式|x+1|+|x-2|k的解集非空,求k的范围. (3,+∞) 考点三 不等式的证明——比较法 已知a，b，m，n∈R+.求证:am+n+bm+n≥ambn+anbm. 【证明】am+n+bm+n-ambn-anbm =am(an-bn)+bm(bn-an)=(am-bm)(an-bn), y=xn,y=xm在(0,+∞)上是增函数， 当ab时，ambm,anbn;当ab时，ambm,anbn; 当a=b时，am=bm.故(am-bm)(an-bn)≥0. 所以am+n+bm+n≥ambn+anbm. 【分析】可用比较法证明. 考点四 不等式的证明——综合法、分析法 若a,b,c均为正数，求证： . 【分析】证明时可用分析法，也可用综合法. 【证明】证法一:欲证 只要证 只要证 只要证(a+b+c) ≥ . ∵(a+b+c) = ［(b+c)+(a+c)+(a+b)］ ≥ × = ,故原不等式成立. 证法二：∵ = = (a+b+c) -3 = ［(b+c)+(a+c)+(a+b)］· -3 ≥ -3= , ∴ . a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2.求证:1a+b . 证明:a3-b3=a2-b2,且a≠b,∴a2+ab+b2=a+b. ∵a,b∈R+,于是(a+b)2=a2+2ab+b2a2+ab+b2=a+b.且a+b0,两边同除以a+b,得a+b1. 考点五 不等式的证明——放缩法 【证明】∵ , ∴ 2(