3、利用割补思想研究多边形.docVIP

3、利用割补思想研究多边形 概述：几何研究的一种基本思想就是将复杂图形拆分成简单图形，对后者的性质进行充分研究后再将其组合起来。这样的例子我们已经遇到很多，以下是一份不完全的小结： （1）三线八角（图1）：由3条直线组成，其中包含8个角，每两个角的关系包含对顶角、同位角、内错角和同旁内角； （2）如图2，任意三角形都可以看作是两个直角三角形组合而成（左图为“相加”，右图是“相减”），从而可以利用勾股定理来研究非直角三角形中的边角关系； 图1. 图2. （3）如图3，线段BE和CF将△ABC分成4块，已知比值AF/BF与AE/CE，可以求出4块面积之比，方法是将四边形AEPF再分成两块；还能求BP/EP和CP/FP； （4）如图4，在讨论凸多边形内角和时，可以将它划分成若干个小三角形，从而利用三角形内角和来确定多边形内角和；下图显示了五边形的两种划分方式. 图3. 图4. （5）勾股定理的多种证明方法（如赵爽弦图）； （6）用割补方法证明面积公式：正方形→长方形→三角形/平行四边形/梯形等； 说明：关于割补方法论证和计算的过程书写。大体上讲，对于割补方法的过程要求相对不强，但是以下两点一般是必须要说明的。 ① “割”时，必须说明所涉及到的辅助线的作法；“补”时要说明图形的移动方式；如“将△ABC平移到△A1B1C1的位置”（如有必要的话，应先证明证明两个三角形全等）。 ② 适当说明列式时所依据的原理，例如用图4左图证明五边形内角和为540°时，应说明，“根据三角形内角和180°，图中五边形的内角和，即3个三角形的总内角和为540°” 练习一、面积问题中的割补 1、如图，从三角形两个顶点引出的两条线段将三角形分割成四个部分，其面积分别记为S1~S4，已知S1＝3，S2＝S3＝7，求S4＝？ 2、圆O的半径为2，正方形OABC边长为1，正方形的边长位于一对彼此垂直的半径上. 分别延长AB和CB，交圆弧与点D、E. 求阴影部分的面积. 3、如图，用涂刷沿着正方形的对角线涂画出一个对称的图案.，涂颜色部分占正方形面积的一半. 求涂刷宽度与正方形边长之比. 4、依次延长凸四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA至E、F、G、H，使得 ，若，求m的值. 练习二、利用三角形的边角关系计算四边形 1、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝，AC＝6，AD＝3. 求CD的长. 2、如图，四边形ABCD中，∠A:∠C＝1:2，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，CD＝1. 求BC和AD的长. 3、如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7. 求BC＋CD. 4、如图，四边形ABCD的面积为12，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD. 求BC＋CD. 专题一、由等边三角形构成的“坐标网格” 我们所熟悉的坐标系是由正方形网格构成的，也就是说，是由一组彼此全等的小正方形拼合成的一个大正方形。反过来，则是将一个大正方形切割成平方数个彼此全等的小正方形。类似地，我们也可以用等边三角形来实现这个目的。 1、如图△ABC为等边三角形，点D、E、F分别为BC、CA、AB边中点。 证明：△AEF、△BDF、△CDE和△DEF都是等边三角形。 这个定理告诉我们：一个等边三角形可以切割成4个彼此全等的小等边三角形，反过来说，4个彼此全等的等边三角形按照图示方式可以拼合成一个大的等边三角形。推而广之，个彼此全等的等边三角形按照图示方式可以拼合成一个大的等边三角形。 2、等边三角形网格中的距离 如图，在由边长均为1的等边三角形所组成的网格中，有分别标记为a、b和c的3条线段。 求它们的长（提示：以所求线段为斜边构造直角三角形，利用勾股定理求算）。 推广问题：考察上面的计算过程，你认为这个方法能否推广到等边三角形网格中任意两个格点（即网格中的交叉点）之间的距离计算？（这个结果类似于平直坐标系中的两点距离公式） 3、等边三角形网格中的角度 （1）求图中角和的度数； （2）求图中∠1＋∠2＋∠3的度数。 小结：虽然暂时不能一般性地根据三角形的边长反求角的具体度数，但是由于可以求出任意线段的长度，因而可以根据全等（SSS）确定任意两个角度是否相等。 **4、探究问题：两种坐标系的关系 （1）在正方形网格中，是否存在着3个格点使得它们彼此相连后构成等边三角形？ （2）在等边三角形网格中，是否存在着4个格点使得它们彼此相连后构成正方形？ 提示：①不失一般性地，可以设其中一个点为原点；②设某个不是原点的点的坐标，根据正多边形的几何性质表示出其他几个点的坐标；③利用勾股定理将线段长度性质转化为方程形式，从而将图形的存在问题转化为不定方程的整数解问题。 专题二、特殊的八边形 1、正八边形ABCDEFGH的边长