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南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题答案 序号： 姓名： 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2007年9月16日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 累分人 签名 题分 15 15 6 6 7 7 8 7 7 7 8 7 100 得分 注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:30——11:30. 填空题(每空3分，共15分) 1、 . 2、0 . 3、. 4、 . 5、12. 二、选择题(每题3分，共15分) 1、 C. 2、A. 3、C. 4、C. 5、D.  得分 评阅人 三、（本题满分6分） 设为连续函数,,讨论当时的极限是否存在. 当时，则 积分中令则 2 当时，则 . 4 当时，的极限存在， 当时，的极限不存在 6 得分 评阅人 四、（本题满分6分） 设为连续函数,满足方程,求. 1 2 3 求得 4 通解 5 特解 6 得分 评阅人 五、（本题满分7分） 设，其中均为常数，为从点沿曲线到点的一段弧. 利用格林公式.添加从点沿直线到点的有向直线段,则 . 1 对于,因为为封闭曲线,由格林公式知 3 对于,直接计算 5 所以,. 7 得分 评阅人 六、（本题满分7分） 设在上连续，且，求. 解：令，则，.于是, 原式= = 解法二：= 1 = 4 = 6 == 7 得分 评阅人 七、（本题满分8分） 已知正项级数收敛，试判断数列的敛散性. 证 设级数的前项的部分和 由正项级数收敛知存在使得， 1 3 由于当时，因此 6 又由于是单调递增数列， 7 因此数列收敛. 8 得分 评阅人 八、（本题满分7分） 计算曲面积分，其中是锥面被平面和所截出部分的外侧. 利用高斯公式.补充有向曲面:下侧；有向曲面:上侧.利用高斯公式,有 2 4 其中为:.又由于, 5 , 6 故 7 得分 评阅人 九、（本题满分7分） 设，其中函数具有二阶连续导数，求. 令，则