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第章第节 时间：45分钟　满分：100分 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC，BOC都不小于15°的概率为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 答案：D 解析：假设在扇形中AOC＝BOC′＝15°，则COC′＝60°，当射线落在COC′内时符合题意，故所求概率为P＝＝. 2．在面积为S的ABC内部任取一点P，则PBC的面积大于的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：如图，假设当点P落在EF上时(EFBC)，恰好满足PBC的面积等于，作PGBC，AHBC，则易知＝.又易知符合要求的点P可以落在AEF内的任一位置，所以所求的概率P＝＝. 3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的“长度”等于5，试验的全部结果构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P(A)＝＝. 4．[2012·广东肇庆]在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由sinx＋cosx≤1得2sin(x＋)≤1， 即sin(x＋)≤. 由于x[0，π]，x＋[，]， 因此当sin(x＋)≤时，x＋[，]， 于是x[，π]． 由几何概型公式知事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为 P＝＝. 5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P＝，应选C. 6．[2012·东北三校一模]已知实数a，b满足－1≤a≤1，－1≤b≤1，则函数y＝x3－ax2＋bx＋5有极值的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：y′＝x2－2ax＋b，当方程x2－2ax＋b＝0有两个不同实根，即a2b时，函数y＝x3－ax2＋bx＋5有极值点，如图，阴影部分面积为2＋a2da＝2＋a3＝，所以函数y＝x3－ax2＋bx＋5有极值的概率为＝＝，故选C. 二、填空题(每小题7分，共21分) 7．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x[0,1]的概率为__________． 答案： 解析：根据几何概型概率的计算公式，可得所求概率为＝，故填. 8．关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若从区间[0,6]中随机取两个数a和b，则方程有实根且a2＋b2≤36的概率为________． 答案： 解析：由题意知，判别式Δ＝4a2－4b2≥0，又a和b为非负数，a≥b，则a和b满足的条件为，作出此不等式组表示的区域为图中阴影部分所示，又易知阴影部分的面积为×π×62＝，故所求概率P＝＝. 9．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． 答案： 解析：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝. 三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min的概率． 解：设事件A＝{候车时间不超过3 min)．x表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x，假定乘客到达车站后一辆公共汽车来到的时刻为t，如图所示，乘客必然在(t－5，t]来到车站，t－5x≤t，欲使乘客的候车时间不超过3 min，必有t－3≤x≤t，所以P(A)＝＝0.6. 11. 如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率． 解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上，是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝. 弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－. 答：所求弦长不超过1的概率为1－. 12. 已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)设集合