§6.6 系统的稳定性.pptVIP

§6.6 系统的稳定性 一．引言 ……续 二．定义（BIBO） 三．证明 四．由H(s)的极点位置判断系统稳定性 2．不稳定系统 4．系统稳定性的判据 五、罗斯-霍维茨判据 构筑Routh-Hurwitz阵列的步骤为： 这样构成的阵列共有n+1行，最后两行都只有一个元素。 第一列由 称R-H阵列。 第三步由此数列根据R-H准则来决定方程是否有实部为正的根，从而判别系统是否稳定。 R-H准则：在R-H阵列中，顺次计算的符号变化的次数等于方程所具有的实部为正的根的个数。由此可见，稳定判据为：由系统特征方程的系数并经计算而构成的R-H阵列中，若无符号变化则系统是稳定的，反之，不稳定。 续解 结论 X 第 * 页 武汉理工大学信息工程学院 2004.9 引言 定义（BIBO） 证明 由H(s)的极点位置判断系统稳定性 罗斯霍维茨判据 某连续时间系统的系统函数 当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为 但t很大时，这个正指数项超过其他项并随着t 的增大而不断增大 实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备等。 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。 对所有的激励信号e(t) 其响应r(t)满足 则称该系统是稳定的。式中 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）： 对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为： 充分性 充分性得证 必要性 必要性得证 1．稳定系统 若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足 系统是稳定的。 例如 系统稳定； 系统稳定。 如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点 系统是不稳定系统。 3．临界稳定系统 如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。 为非零数值或等幅振荡。 从频域看要求H(s)的极点： ???①右半平面不能有极点(稳定) ②虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。 1877年Routh提出一种判别代数方程根的方法，不必解方程就可知道它包含有多少个具有正实部的根和零实部根。1895年Hurwitz导出类似方法，即下面介绍Routh-Hurwitz稳定性判据或准则。 判据内容： 若 ，则 方程式的根全部位于S左半平面的必要条件是： ①多项式的全部系数 都是正值； ②无缺项； ③Routh-Hurwitz阵列中第一列数字符号相同。 以此类推，排到 为止 0 1 2 3 2 1 A A A A A A A n n n n - - - 0 0 2 3 2 1 B B B B B n n n n - - - 0 0 0 3 2 1 - - - n n n n C C C C L L 1 - n n D D · · · 第二步：排列R-H阵列规则如下 1 - n n a a 3 2 - - n n a a 5 4 - - n n a a 7 6 - - n n a a 头两行就是第一步特征方程的系数所排成的两行！ 第一步：把 的所有系数按如下顺序排成两行。 下面各行按下列公式计算： 陈列中通项式的一般式为（6-41）式。 例1:试判别特征方程 的系统是否稳定。 解：罗斯－霍维茨排列 6 11 1 2 - 0 0 6 1 因为有符号变化,所以系统不稳定。 由第一列元素符号的变化次数，我们可以判断该方程有两个根的实部为正。 例2 已知系统特征方程 为， 试判断该系统的稳定性。 3 2 2 3 3 2 ) 0 ( 1 1 e e - 0 0 3 —正无穷小量 故系统不稳定 e e e 0 3 2 , 0 - ? Q 此时出现全零行，由辅助多项式 ，求导可得 ，以4，6代替全零行系数