数学建模课件01第一章 数学建模基本概念.pptVIP

３、七桥问题 1).能否不重复的一次走完七座桥？ 2).能否不重复的一次走完七座桥又回到原地？ * 〔欧拉方法〕岛A、B和陆地C、D无非都是桥的联结点，因此不妨把A、B、C、D看成4个点，把七桥看成联结这些点的七条线，如图。  * 这样当然不改变问题的实质，于是一人能否不重复一次通过七座桥的问题等价于其网络图能否一笔画成的问题（这是思维的飞跃），此网络图就是七桥问题的数学模型。 欧拉证明了七桥问题是无解的，并给出了一般结论： 1)联接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画。 2)联接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一个陆地。 * 3)每个陆地都联接有偶数个桥是，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。 说明： (1)数学模型不一定都是数学表达式，如七桥问题的数学模型是一个网络图。 * (2)欧拉解决七桥问题时，超出了过去解决问题所用数学方法的范畴，充分发挥自己的想象力，用了完全崭新的思想方法（可称为几何模拟方法），从而使问题解决得十分完美，结论明确而简捷。由于他的开创性的工作，产生了“图论”这门学科，欧拉是人们公认的图论的创始人。 (3)图论是一门非常有用的学科，很多实际问题都可化为图论问题决。 * 问题： * 某仓库要存放7种化学药品，用 分别表示7种药品; 已知不能存放在一起的药品为: 问至少应把仓库分成多少隔离区才能确保安全？ 解：先把各种药品作为节点，节点集为 然后把不能存放在一起的药品用边相连，这样就构成一个图，如下图： * 为了决定分区，要对药品进行分区编号，规则如下： * 1、各边的两个节点不能编在同一区号； 2、为节省分区，以A区、B区、C区…顺序编号，且尽量使用小的区号。 A区： B区： C区： 对于n种药品，同样可根据上述规则，通过计算机依次编区。 * 4、走路问题 问题：人在恒速行走时，步长多大才最省劲？ 假设人的体重为M，腿重为m，腿长为 ，速度为v，单位时间步数为n，步长为x，其中 v＝nx 。 人行走时所作的功可以认为由两部分组成：即抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需动能之和。下面分别计算两部分的做功： * (1) 重心升高所需的势能 将人的行走简化成如图所示: 若记重心升高为δ，则 * 单位时间重心升高所需势能W为 W＝n·Mgδ＝ (其中v=nx) (2) 腿运动所需的动能 将人行走视为均匀直杆（腿）绕腰部转动， 则在单位时间内所需动能E为： * 其中转动惯量 角速度 所以 于是，单位时间所作的功P为 * 因为作功少就省劲，所以问题就变成寻求步长x使单位时间内作的功P最小 ， 若以 M:m＝4:1 L＝１米代入上式 可得 n≈5 即每秒5步，这显然太快了。 * 对模型（＊）作如下修改： 假设腿重集中在脚上，这样腿的运动所需动能即为脚作直线运动所需动能， 于是 从而 求极值可得 这是比较符合实际情况的。 * 三、数学模型基本概念 1、数学模型的定义 数学模型就是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构；它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制等。 * 2、建立数学模型的方法和步骤 1）观察 ２）现实问题的理想化 ３）建立数学模型 建立数学模型应注意以下几点： (1) 分清变量类型，恰当使用数学工具。 （2）抓住问题本质，简化变量之间的关系。 (3) 建立数学模型时要有严密的数学推理。 (4) 建模要有足够的精度。 * ４）模型求解 ５）模型的分析、验证 ６）模型的修改 以上步骤也可用下框图表示： 现实问题 简化 假设 建立模型 模型求解 验证分析模型 合理 模型应用 不合理 * 3、数学模型的分类 １）按变量性质分： ２）按时间关系分： ３）按研究方法分： 初等模型、 微分方程模型、 概率统计模型、 运筹学模型等。 * ４）按研究对象所在领域分： 经济模型、生态模型、人口模型、交通模型等。 ………… * 4、建模