2010届一轮复习高三数学第九编解析几何直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式.docVIP

2010届步步高一轮复习高三数学第九编解析几何直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式 1.下列四个命题中真命题是 （ ） A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示 B.经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 C.不经过原点的直线都可以用方程表示 D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 答案 B 2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为（ ） A.2x-y-1=0 B.x+y-5=0 C.2x+y-7=0 D.2y-x-4=0 答案B 3.（2008·全国Ⅱ文，3）原点到直线x+2y-5=0的距离为 （ ） A.1 B. C.2 D. 答案 D 4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 ( ) A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0 D.x+2 y-5=0 答案 A 5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0 例1 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y=x，即2x-3y=0. 若a≠0，则设l的方程为， ∵l过点（3，2），∴， ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k, 由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=, ∴直线l的方程为： y-2=-（x-3）或y-2=(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0. （2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为， 则所求直线的倾斜角为2. ∵tan=3,∴tan2==-. 又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=-(x+1), 即3x+4y+15=0. 例2 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l的方程. 解 方法一 设直线的方程为 (a＞2,b＞1), 由已知可得. （1）∵2≤=1，∴ab≥8. ∴S△AOB=ab≥4. 当且仅当==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0. （2）由+=1,得ab-a-2b=0, 变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|·|PB| =· = ≥. 当且仅当a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 A、B（0，1-2k）. （1）S△AOB=（1-2k） =× ≥（4+4）=4. 当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. （2）|PA|·|PB|= =≥4, 当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 例3 （12分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程. 解 方法一 若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是 A（3，-4），B（3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 4分 若直线l的斜率存在， 则设直线l的方程为y=k(x-3)+1, 分别与直线l1,l2的方程联立， 由, 解得A. 8分 由,解得B, 由两点间的距离公式，得 +=25， 解得k=0,即所求直线方程为y=1. 10分 综上可知，直线l的方程为x=3或y=1. 12分 方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2