线性代数 第1章(1).ppt

第 1 章 行列式 §1 数域与排列 第 1 章 行列式 §1 数域与排列 第 1 章 行列式 §1 数域与排列 第 1 章 行列式 第 1 章 行列式 第 1 章 行列式 §2 行列式的定义 第 1 章 行列式 §2 行列式的定义 第 1 章 行列式 §3 行列式的性质 第 1 章 行列式 §3 行列式的性质 第 1 章 行列式 §3 行列式的性质 §3 行列式的性质 第 1 章 行列式 §3 行列式的性质 第 1 章 行列式 §3 行列式的性质 第 1 章 行列式 §3 行列式的性质 第 1 章 行列式 第 1 章 行列式 第 1 章 行列式 第 1 章 行列式 第 1 章 行列式 复习上节课内容 09.08 Example 11 设 证明： D = D1D2 . 对 D1 作运算 ri+ krj ，把 D1 化为下三角行列式 对 D2 作运算 ci+ k’cj ，把 D2 化为下三角行列式 于是，对 D 的前 m 行作运算 ri+krj，再对 D 的 后 n 列作运算 ci+k’cj，把 D 化为下三角行列式： 0 故 D = p11…pmmq11…qnn = D1D2 一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计 算更简便，所以，是否可用低阶行列式表示高阶行列 式 . §4 行列式按行（列）展开 在行列式的定义中，每一项是 n 个元素的乘积，由 于这 n 个元素取自不同的行与列。所以，对于某一确 定的行（列）中的 n 个元素（ai1，ai2，…，ain）来说, 每一项都含有其中的一个且只含其中的一个元素。 因此，n 阶行列式的 n ! 项可分成 n 组，第 1 组的 项都含有 ai1，第 2 组含有 ai2， … 再分别把第 i 行的元 素提出来，有 D = ai1Ai1+ ai2Ai2+ …+ ainAin (*) Aij 表示什么 ？ §4 行列式按行（列）展开 Definition 1.6 在 n 阶行列式 D 中，将 aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一 个 n -1 阶行列式，称为 aij 的余子式，记作 Mij . D = ai1Ai1+ ai2Ai2+ …+ ainAin (*) 证明：Aij = (-1)i+j Mij (**) (即（*）表示 n 阶行列式可用 n-1 行列式表示) 由 Ex.11知 在（*）式中，令 ai1=…=a i(j-1) =a i(j+1) =…=ain=0，aij=1 互换行列 §4 行列式按行（列）展开 Definition 1.7 Aij = (-1)i+jMij，称为元素 aij 的代数余子式 . Theorem 1.2 设 Aij 表示元素 aij 的代数余子式，则下列公式成立： 在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代 数余子式的乘积之和为零 . Example 12 利用 Th . 1.2 可降低行列式的阶数，便于计算 . 计算 Solution: 方法一 将各列加到第一列，得 方法二 Dn cj+cj+1 j=n-1,…,1 §4 行列式按行（列）展开 Example 13 计算 Solution: 方法一 每行减去第一行，得 方法二 Example 14 计算 Solution: 从第二行起，前行乘以 x 加到后一行，得 §4 行列式按行（列）展开 Example 15 证明 范德蒙德（Vandermonde）行列式 Proof : 用数学归纳法 当 n = 2 结论成立； 假设对于 n-1 阶 V- 行列式，结论成立； 对于 n 阶 V-行列式，从第 n 行开始，后行减去前 行的 x1倍 . Dn 上式右端行列式是 n-1 阶 V- 行列式，由归纳假设，得 §4 行列式按行（列）展开 Example 15 计算 Solution: D4 为 4 阶 V- 行列式 其中 故 第 1 章 行列式 §5 克莱姆（Cramer）法则 首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出 一类特殊方程的求解公式 . 克莱姆法则： 如果线性方程组 (1) 其系数行列式 则方程组(1)有唯一解 简记为 其中 Dj 是用常数项(自由项) b1，b2，…