w3.3函数分析作图 高等数学 专升本 同济第六版.pptVIP

【小结】 1. 理解函数的凹凸性，熟练掌握函数的凹凸性以及拐点的求法. 2.理解函数的渐近线的定义，并能求解一些简单的函数的水平渐近线和铅垂渐进线. 3.了解函数的作图的基本方法. 【思考题】 1．设三次曲线 在 处有极大值，点 是拐点，试确定 的值？ 解 根据题意可得 可得 . * 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 一、曲线凹凸性 1. 定义 设 f(x)在区间(a,b)内可导, 若曲线y= f(x)上 每一点处的切线都位于该曲线的下方 则称曲线y= f(x)在区间内是凹 的. 凹 (或在上方) (或凸) 凸 2. 曲线凹凸性的判定 设 f(x)在区间[a,b]上连续, (1) 在(a,b)内， 和二阶导数,则 则曲线在(a,b)内是凹 的. (2) 在(a,b)内， 则曲线在(a,b)内是凸 的. 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 3. 求曲线凹、凸区间的步骤： （1）求定义域 （2）求 定义域内 f″(x)=0 和f″(x)不存在 的点， （3）列表讨论函数在每个区间上的凹凸性 这些点把定义域分成若干个小区间 （4）小结 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 例1 求曲线 的凹凸性 解： 函数 定义域为： 令 解得 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 列表如下 故曲线在 内是凹的 曲线在 内是凸的 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 求曲线 的凹凸性 提示： 函数 定义域为： 列表如下 曲线凹与凸的分界点? 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 思考题 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 二、曲线的拐点 1. 定义 连续曲线上凸弧与凹弧的分界点,称为 曲线的拐点. 2. 拐点判定定理 设 f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数 且 若点 是使 的点或是 不存在的点，则 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 (1) 若 在 的左右两旁符号不同， 则点 曲线y= f(x)的拐点. (2) 若 在 的左右两旁符号相同， 则点 不是曲线y= f(x)的拐点. 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 3. 求曲线拐点的步骤 （1）求定义域 （2）求 定义域内 f″(x)=0 和f″(x)不存在 的点， （3）列表讨论函数在每个区间上的凹凸性并 这些点把定义域分成若干个小区间 求出拐点 （4）小结 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 说明 二阶导数等于零的点,不一定是拐点. 如： 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 例2 求曲线 的凹凸区间和拐点 解： 函数 定义域为： 令 解得 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 列表如下 拐点 拐点 故曲线在 及 内是凹的 曲线在 内是凸的 曲线有两个拐点 和 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 求曲线 的凹凸区间和拐点 例3 解： 函数 定义域为： 当 时， 不存在. 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 列表如下 不存在 拐点 故曲线在 内是凸的,在 是凹的， 曲线的拐点为 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 课堂 练习 24、求曲线 的凹凸区间和拐点 25、试决定曲线 中的 使 为驻点， 为拐点 且通过点 P51-52 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 提示： 1、函数 定义域为： 令 解得 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 列表如下 拐点 拐点 故曲线在 及 内是凸的 曲线在 内是凹的 曲线有两个拐点 和 3.3.1 曲线的凹凸性和拐点 是驻点 是拐点 解得 3.3.2曲线的渐近线 三、曲线的渐近线 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷时， 该点与某一定直线的距离趋于0，则称此定直线 为曲线的一条渐近线． 1. 水平渐近线 设曲线y= f(x)的定义域是无穷区间， 如果 (或 ， . 则称直线 为曲线y= f(x)的一条水平渐近线． 3.3.2曲线的渐近线 例4 求曲线 的水平渐近线． 解： 故直线 和 是曲线的水平