传染病模型（2）.pptVIP

* * 三、传染病的蔓延问题 问题 当某种传染病流行时，得病者人数是如何变化 的？在何时病人的增加率最大？有关部门应如何控制传 染病的蔓延？ 模型一 假设：病人是通过与他人接触而将病菌传染给他人 的。进一步地假设，在单位时间内一个病人能传染的人 数为定量，记作 ，称其为传染系数。 建模 设时刻 ，有病人数 ，且初始时 再设从时刻 到时刻 时间段中病人的增量为 从而有 令 则有微分方程，并有初始条件 ⑴ 从而问题转变为一个常微分方程的初值问题. 解模 方程⑴为一阶线性齐次常系数微分方程，方程 的通解为 再由初始条件得初值问题的解为 ⑵ ⑵式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即 实际问题是，一个地区的人口总数是一个有限数，故 上面的模型并不适用. 模型二 假设 1.在传染病流行的地区里，总人口数 是不变 的; 2.在单位时间内一个病人能传染的健康人数量是个变 量 . 因为随着病人数的增加，健康人的数量在减少， 从而 也会减少. 为此假定 与健康人数量成正比, 其 比例系数为 ，仍然称为传染系数. 建模 设时刻 时有病人数 健康人数 。 初始时刻 时有病人数 . 由假定1，有 在时刻 到 的时间段中，病人数的增量为 ⑶ 两边同除以 ，并令其趋于零，则有微分方程 ⑶ 如此，把问题转变成一个微分方程. 解模 此方程是一个一阶可分离变量的微分方程，容 易解出: 两边积分，得 再由初始条件，得 所以方程的解为 变形后有 即 所以 从而原方程的解为 ⑷ 曲线的大致图形如下： 分析：当 时， 此表明所有的人都将成为病人， 这也是不合理的. 因为最终病人 数将趋于零. 此模型的一个应用是，利用该模型可以预测该传染病 何时会达到最大值. 对⑶式求导并令其为零，则有 ⑸ 由方程⑶ 从而方程⑸意味着 即在病人数达到总人数的一半时，病人数的增加率达到 最大. ⑹ 将⑹代入⑷, 得最传染 病高峰时刻为 模型三 假设: 1.在传染病流行的区域内，总人口数 是不变 的; 2.在单位时间内，一个病人能传染的健康人数量成正 比，其比例系数记为 ，称为传染系数。 3.在单位时间内，一个病人通过治疗或其它过程能够 不再成为病人的可能性记为 ，称为恢复系数。 建模 设时刻 有病人 人，健康人 ，免疫者 人，初始时刻有病人 及免疫人数为0. 由假设1及3得 ⑺ ⑻ 从时刻 到时刻 的时段中病人数的增量为 其中 为免疫者数量的增量。把 除以上式的两边， 并令其趋于零，则有微分方程： 再由⑺式得 所以 ⑼ ⑽ 如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组的初值 问题. 上面方程组的求解是极为困难的。我们从另一个角度 来进行讨论. 引入量 ，称为特征系数，则微分方程转变为 ⑾ 此方程为变量可分离的微分方程，分离变量后求解： 得 由此得到初值问题⑾的解为 ⑿ 解的分析 由于 故解曲线⑿必定在下述一个三角形区域内： 由⑽知 即随时间 的增加，健康人数 将减少。再 由⑾知当 时， 此时病人数达到了极大值 再来看当时间在增加时病人数和健康人数的极值情 况。 由于 由极限存在准则：故极限值 存在，且由于 故极限值 存在。从而由 式⑺式知极限值 必存在，且 其次，假定 则由⑻ 当 相当大时，有 此与 的存在性矛盾，所以 从图中可以看出，在健康人数初始值 的条件 下，当时间 时，健康人数量 减少，而病人数 先增加，在达 到极大值 后再减少；而在健 康人数初始值 的条件下， 当时间 增加时，健康人数量 减少，病人数量 也减 少。 结论